Esboce os gráficos das retas tangente e normal à parábola no ponto 1,3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar as retas tangente e normal a uma parábola no ponto 1,3. Isso envolve conceitos de derivadas na matemática, que ajudam a encontrar a inclinação das retas. Então, vamos precisar saber a equação da parábola e usar a derivada para achar as retas que tocam essa curva exatamente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a equação da parábola. Geralmente, uma parábola tem a forma . Sabemos que o ponto 1,3 está na parábola, então vamos substituir esses valores na equação para encontrar os coeficientes.
Vamos assumir, para simplificar, que a parábola é simétrica e que b = 0 (isso significa que a parábola está alinhada com o eixo y). Assim, a equação fica .
Substituindo 1,3:
Sem mais informações, vamos escolher a = 1 para facilitar. Então:
Portanto, a equação da parábola é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de em relação a x é:

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto x = 1 substituindo na derivada:
Então, a inclinação da tangente é .

Passo 5

Com a inclinação ( ) e o ponto 1,3, podemos usar a fórmula da reta:

Substituindo os valores:
Distribuindo:

Somando aos dois lados:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da normal ( ), usamos a relação:

Então:

Passo 7

Usando a inclinação da normal ( ) e o ponto 1,3, aplicamos novamente a fórmula da reta:

Distribuindo:
Somando aos dois lados:
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

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