Esboce os gráficos das retas tangente e normal à parábola no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar as retas tangente e normal a uma parábola no ponto . Isso envolve conceitos de derivadas na matemática, que ajudam a encontrar a inclinação das retas. Então, vamos precisar saber a equação da parábola e usar a derivada para achar as retas que tocam essa curva exatamente no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a equação da parábola. Geralmente, uma parábola tem a forma . Sabemos que o ponto está na parábola, então vamos substituir esses valores na equação para encontrar os coeficientes.
Vamos assumir, para simplificar, que a parábola é simétrica e que (isso significa que a parábola está alinhada com o eixo y). Assim, a equação fica .
Substituindo :
Sem mais informações, vamos escolher para facilitar. Então:
Portanto, a equação da parábola é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto substituindo na derivada:
Então, a inclinação da tangente é .
Passo 5
Com a inclinação () e o ponto 1,3, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo:
Somando aos dois lados:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da normal (), usamos a relação:
Então:
Passo 7
Usando a inclinação da normal () e o ponto 1,3, aplicamos novamente a fórmula da reta: