In Problems 27-36 solve the given initial-value problem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um sistema oscilatório. A equação é:
Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrando a solução geral e a particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções baseadas em funções trigonométricas.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 4

Agora, precisamos achar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é , vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais dos dois lados:

Passo 8

Resolvendo as equações:
Da segunda equação, se :
Da primeira equação:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição :
Simplificando:
Logo:

Passo 11

Segunda condição :
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, avaliamos em :
Simplificando:
Logo:

Passo 12

Substituindo e na solução geral:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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