In Problems 27-36 solve the given initial-value problem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um sistema oscilatório. A equação é:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrando a solução geral e a particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo
:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções baseadas em funções trigonométricas.
Passo 3
A solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 4
Agora, precisamos achar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo as equações:
Da segunda equação, se
:
Da primeira equação:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição
:
Simplificando:
Logo:
Passo 11
Segunda condição
:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, avaliamos em
:
Simplificando:
Logo:
Passo 12
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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.
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