In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com algumas condições para descobrir a função . A equação é:
E as condições são:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas e particulares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , que é um polinômio de grau 1, vamos assumir uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Calculando :
Calculando :
Então, :
Aplicando a primeira condição:
Segunda condição:
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora temos um sistema de equações para e :
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar substituição.
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Distribuindo:
Isolando os termos com :
Então:
E substituindo na expressão para :
Essas expressões podem ser calculadas numericamente se precisarmos de valores aproximados.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde as constantes e são dadas por:

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i)
ii)
iii)
iv)