In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com algumas condições para descobrir a função
. A equação é:
E as condições são:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas e particulares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, que é um polinômio de grau 1, vamos assumir uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Calculando
:
Calculando
:
Então,
:
Aplicando a primeira condição:
Segunda condição:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações para
e
:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar substituição.
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Distribuindo:
Isolando os termos com
:
Então:
E substituindo
na expressão para
:
Essas expressões podem ser calculadas numericamente se precisarmos de valores aproximados.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde as constantes
e
são dadas por:
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.
Derive as seguintes funções:
Uma bola é atirada no ar com velocidade de 10
. Sua altura em metros após
segundos é dada por
.
Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando e dura
i)
ii)
iii)
iv)
Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando
i)
ii)
iii)
iv)