Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = 5^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . A gente vai trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas onde a variável está no expoente. Pra resolver, vamos precisar entender como elas se comportam, identificar suas características principais e plotar alguns pontos chave.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função exponencial tem a forma geral , onde é uma base positiva diferente de 1. No nosso caso, . Funções exponenciais são sempre definidas para todo número real, então o domínio é e a imagem também é .

Passo 3

Agora, vamos identificar as características importantes da função :
  • Intercepto com o eixo y: Quando , . Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1).
  • Assíntota horizontal: A função nunca toca o eixo x, mas se aproxima cada vez mais dele conforme tende a menos infinito. Portanto, a assíntota é .
  • Crescimento: Como a base é maior que 1, a função é crescente. Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta rapidamente.

Passo 4

Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
  • Para : . Ponto (1, 5).
  • Para : . Ponto (2, 25).
  • Para : . Ponto (-1, 0.2).
  • Para : . Ponto (-2, 0.04).
Esses pontos nos mostram que, à medida que aumenta, cresce rapidamente, e à medida que diminui, se aproxima de 0, mas nunca toca o eixo x.

Passo 5

Com as características identificadas e os pontos plotados, podemos esboçar o gráfico. Começamos no ponto (0, 1), passando pelos pontos (1, 5) e (2, 25) à direita, mostrando o crescimento rápido. À esquerda, passamos pelos pontos (-1, 0.2) e (-2, 0.04), aproximando-nos da assíntota sem nunca tocá-la. O gráfico é uma curva suave que sobe à direita e se aproxima do eixo x à esquerda.

Resposta

O gráfico da função é uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto (0, 1), sobe rapidamente à medida que aumenta e se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo conforme diminui. A assíntota horizontal é .

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos da função seno e da função cosseno onde o domínio da função seno e o domínio da função cosseno é o conjunto [0, 4*pi].
Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = -2 x^2 + 18.
Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: (0, infinito) -> R dada por f(x) =
log10(x)
Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = (1/4)^x;