Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = 5^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . A gente vai trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas onde a variável está no expoente. Pra resolver, vamos precisar entender como elas se comportam, identificar suas características principais e plotar alguns pontos chave.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função exponencial tem a forma geral , onde é uma base positiva diferente de 1. No nosso caso, . Funções exponenciais são sempre definidas para todo número real, então o domínio é e a imagem também é .

Passo 3

Agora, vamos identificar as características importantes da função :
  • Intercepto com o eixo y: Quando , . Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1).
  • Assíntota horizontal: A função nunca toca o eixo x, mas se aproxima cada vez mais dele conforme tende a menos infinito. Portanto, a assíntota é .
  • Crescimento: Como a base é maior que 1, a função é crescente. Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta rapidamente.

Passo 4

Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
  • Para : . Ponto (1, 5).
  • Para : . Ponto (2, 25).
  • Para : . Ponto (-1, 0.2).
  • Para : . Ponto (-2, 0.04).
Esses pontos nos mostram que, à medida que aumenta, cresce rapidamente, e à medida que diminui, se aproxima de 0, mas nunca toca o eixo x.

Passo 5

Com as características identificadas e os pontos plotados, podemos esboçar o gráfico. Começamos no ponto (0, 1), passando pelos pontos (1, 5) e (2, 25) à direita, mostrando o crescimento rápido. À esquerda, passamos pelos pontos (-1, 0.2) e (-2, 0.04), aproximando-nos da assíntota sem nunca tocá-la. O gráfico é uma curva suave que sobe à direita e se aproxima do eixo x à esquerda.

Resposta

O gráfico da função é uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto (0, 1), sobe rapidamente à medida que aumenta e se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo conforme diminui. A assíntota horizontal é .

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