Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
. A gente vai trabalhar com funções exponenciais, que são aquelas onde a variável está no expoente. Pra resolver, vamos precisar entender como elas se comportam, identificar suas características principais e plotar alguns pontos chave.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função exponencial tem a forma geral
, onde
é uma base positiva diferente de 1. No nosso caso,
. Funções exponenciais são sempre definidas para todo número real, então o domínio é
e a imagem também é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as características importantes da função
:
- Intercepto com o eixo y: Quando
, . Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1). - Assíntota horizontal: A função nunca toca o eixo x, mas se aproxima cada vez mais dele conforme
tende a menos infinito. Portanto, a assíntota é . - Crescimento: Como a base
é maior que 1, a função é crescente. Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta rapidamente.
Passo 4
Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
- Para
: . Ponto (1, 5). - Para
: . Ponto (2, 25). - Para
: . Ponto (-1, 0.2). - Para
: . Ponto (-2, 0.04).
Esses pontos nos mostram que, à medida que
aumenta,
cresce rapidamente, e à medida que
diminui,
se aproxima de 0, mas nunca toca o eixo x.
Passo 5
Com as características identificadas e os pontos plotados, podemos esboçar o gráfico. Começamos no ponto (0, 1), passando pelos pontos (1, 5) e (2, 25) à direita, mostrando o crescimento rápido. À esquerda, passamos pelos pontos (-1, 0.2) e (-2, 0.04), aproximando-nos da assíntota
sem nunca tocá-la. O gráfico é uma curva suave que sobe à direita e se aproxima do eixo x à esquerda.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto (0, 1), sobe rapidamente à medida que
aumenta e se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo conforme
diminui. A assíntota horizontal é
.