Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: (0, infinito) -> R dada por f(x) =
log10(x)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função , definida para todo x maior que zero. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas das funções logarítmicas, como domínio, imagem, interceptos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. Domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de , a função só existe quando , porque não dá pra tirar logaritmo de números negativos ou de zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem da função, ou seja, todos os valores que f(x) pode assumir. O logaritmo pode produzir qualquer número real, positivo ou negativo, dependendo do valor de x. Então, a imagem de f(x) é R, que significa todos os números reais.

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto no eixo y, que é quando x = 1. Porque . Então, o ponto está no gráfico. Já o intercepto no eixo x não existe nesse caso, porque não há valor de x que torne f(x) igual a zero além de x = 1.

Passo 5

Outra coisa importante são as assíntotas. A função logarítmica tem uma assíntota vertical no eixo y = 0, ou seja, quando x se aproxima de zero, f(x) tende a menos infinito. Isso significa que o gráfico vai ficar sempre próximo ao eixo y, mas nunca vai tocá-lo.

Passo 6

Vamos também analisar o comportamento da função:
  • Para , como x está entre 0 e 1, vai dar um número negativo, porque qualquer logaritmo de um número menor que 1 e maior que 0 é negativo.
  • Para , será positivo, e à medida que x cresce, f(x) cresce, mas de forma lenta.

Passo 7

Para ter uma ideia melhor de como o gráfico se comporta, vamos calcular alguns pontos adicionais:
Esses pontos nos ajudam a desenhar a curva de forma mais precisa.

Passo 8

Agora, juntando todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos , , , e .
  3. Trace a assíntota vertical próxima a x = 0.
  4. Conecte os pontos de forma suave, lembrando que a curva passa de negativo para positivo conforme x aumenta, aproximando-se da assíntota.

Resposta

O gráfico da função é uma curva crescente que passa pelos pontos , e , e se aproxima da linha x = 0 sem jamais tocá-la. A curva está localizada apenas para e se estende indefinidamente tanto para valores positivos quanto negativos de f(x) conforme x varia.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = 5^x;
Esboce os gráficos da função seno e da função cosseno onde o domínio da função seno e o domínio da função cosseno é o conjunto [0, 4*pi].
Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
f: R -> R dada por f(x) = (1/4)^x;
Calcule
log_4(16/64)