Esboce os gráficos das seguintes funçãos.
dada por
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é a função
, definida para todo
maior que zero. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas das funções logarítmicas, como domínio, imagem, interceptos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. Domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de
, a função só existe quando
, porque não dá pra tirar logaritmo de números negativos ou de zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem da função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. O logaritmo pode produzir qualquer número real, positivo ou negativo, dependendo do valor de
. Então, a imagem de
é
, que significa todos os números reais.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto no eixo
, que é quando
. Porque
. Então, o ponto
está no gráfico. Já o intercepto no eixo
não existe nesse caso, porque não há valor de
que torne
igual a zero além de
.
Passo 5
Outra coisa importante são as assíntotas. A função logarítmica tem uma assíntota vertical no eixo
, ou seja, quando
se aproxima de zero,
tende a menos infinito. Isso significa que o gráfico vai ficar sempre próximo ao eixo
, mas nunca vai tocá-lo.
Passo 6
Vamos também analisar o comportamento da função:
- Para
, como está entre 0 e 1, vai dar um número negativo, porque qualquer logaritmo de um número menor que 1 e maior que 0 é negativo. - Para
, será positivo, e à medida que cresce, cresce, mas de forma lenta.
Passo 7
Para ter uma ideia melhor de como o gráfico se comporta, vamos calcular alguns pontos adicionais:
Esses pontos nos ajudam a desenhar a curva de forma mais precisa.
Passo 8
Agora, juntando todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
, , , e . - Trace a assíntota vertical próxima a
. - Conecte os pontos de forma suave, lembrando que a curva passa de negativo para positivo conforme
aumenta, aproximando-se da assíntota.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva crescente que passa pelos pontos
,
e
, e se aproxima da linha
sem jamais tocá-la. A curva está localizada apenas para
e se estende indefinidamente tanto para valores positivos quanto negativos de
conforme
varia.
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dada por
;
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.
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dada por
;
Calcule