Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = -2 x^2 + 18.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente precisa encontrar:
  1. Os valores de x onde .
  2. O valor de f(0), se 0 estiver no domínio da função.
  3. Os conjuntos onde a função é positiva e negativa.
  4. Desenhar o gráfico da função.
Pra isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, solução de equações do segundo grau e análise de sinais.

Passo 2

Encontrando os valores de x onde
Primeiro, vamos resolver a equação .
Passo a passo:
  1. Subtraia 18 de ambos os lados:
  2. Divida ambos os lados por -2:
  3. Tire a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, os valores de x onde são e .

Passo 3

Calculando f(0)
Vamos verificar se 0 está no domínio da função. A função é definida para todos os números reais, já que é um polinômio. Então, podemos calcular f(0):
Então, .

Passo 4

Encontrando os conjuntos onde a função é positiva e negativa
A função é , que é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de x^2 é negativo).
Para saber onde ela é positiva ( ) e negativa ( ), vamos analisar os valores de x:
  1. Já sabemos que quando e .
  2. Como a parábola abre para baixo, ela será positiva entre as raízes e negativa fora delas.
Portanto:
  • A função é positiva para x no intervalo .
  • A função é negativa para e .
Então:
  • Conjunto onde .
  • Conjunto onde .

Passo 5

Construindo o gráfico da função
Vamos esboçar o gráfico de .
  1. Vértice da parábola: A forma geral é . Aqui, , , .
    As coordenadas do vértice são:
    Então, o vértice é .
  2. Interseções com o eixo x: Já encontramos e .
  3. Interseção com o eixo y: Já calculamos .
  4. Simbologia:
    • Ponto de vértice: .
    • Raízes: e .
  5. Desenho:
    • Desenhe a parábola voltada para baixo, passando pelos pontos mencionados.

Resposta

Os valores de x onde são e . O valor de f(0) é . A função é positiva para e negativa para ou . O gráfico da função é uma parábola com vértice em , interceptando o eixo x nos pontos e , e aberta para baixo.

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