Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que
. (ou seja, se
então o ponto
pertence ao eixo
(eixo das abscissas));
- o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto
pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
- os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo
temos que
, e para todo
,
. Devemos encontrar
e
.
Construa o gráfico das funções. Seja
dada por
.
Construa o gráfico das funções. Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. A gente precisa encontrar:
- Os valores de
onde . - O valor de
, se 0 estiver no domínio da função. - Os conjuntos onde a função é positiva e negativa.
- Desenhar o gráfico da função.
Pra isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, solução de equações do segundo grau e análise de sinais.
Passo 2
Encontrando os valores de
onde
Primeiro, vamos resolver a equação
.
Passo a passo:
-
Subtraia 18 de ambos os lados:
-
Divida ambos os lados por -2:
-
Tire a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, os valores de
onde
são
e
.
Passo 3
Calculando
Vamos verificar se 0 está no domínio da função. A função é definida para todos os números reais, já que é um polinômio. Então, podemos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Encontrando os conjuntos onde a função é positiva e negativa
A função é
, que é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de
é negativo).
Para saber onde ela é positiva (
) e negativa (
), vamos analisar os valores de
:
-
Já sabemos que
quando e . -
Como a parábola abre para baixo, ela será positiva entre as raízes e negativa fora delas.
Portanto:
- A função é positiva para
no intervalo . - A função é negativa para
e .
Então:
- Conjunto
onde . - Conjunto
onde .
Passo 5
Construindo o gráfico da função
Vamos esboçar o gráfico de
.
-
Vértice da parábola: A forma geral é
. Aqui, , , . As coordenadas do vértice são:Então, o vértice é. -
Interseções com o eixo
: Já encontramos e . -
Interseção com o eixo
: Já calculamos . -
Simbologia:
- Ponto de vértice:
. - Raízes:
e .
- Ponto de vértice:
-
Desenho:
- Desenhe a parábola voltada para baixo, passando pelos pontos mencionados.
Resposta
Os valores de
onde
são
e
. O valor de
é
. A função é positiva para
e negativa para
ou
. O gráfico da função é uma parábola com vértice em
, interceptando o eixo
nos pontos
e
, e aberta para baixo.