Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar o gráfico da função
, onde
é um número real positivo. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e do valor absoluto. Precisamos saber como o valor absoluto altera o gráfico do cosseno e como o parâmetro
influencia sua forma.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função cosseno sem o valor absoluto:
. Sabemos que o gráfico do cosseno é uma onda que oscila entre 1 e -1. O parâmetro
afeta o período da função, que é dado por
. Ou seja, quanto maior
, mais “compacta” fica a onda.
Passo 3
Agora, aplicando o valor absoluto na função, temos
. O valor absoluto faz com que todos os valores negativos do cosseno se tornem positivos. Assim, o gráfico de
oscilará entre 0 e 1. Isso significa que as partes do gráfico que estavam abaixo do eixo x serão refletidas acima dele.
Passo 4
Vamos identificar os pontos importantes no gráfico:
-
Máximos: São os pontos onde a função atinge o valor 1. Isso acontece quando
, ou seja, em , onde é qualquer número inteiro. -
Mínimos: Com o valor absoluto, o mínimo é 0. Isso ocorre quando
, ou seja, em . -
Raízes: São os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde
. Esses são os mesmos pontos dos mínimos, .
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico. Será uma sequência de ondas que vão de 0 a 1, sem partes negativas. Os picos estarão em
e os vales (onde toca o eixo x) em
. O período da função é
, o que determina a distância entre os picos consecutivos.
Resposta
O gráfico da função
é uma onda que varia de 0 a 1, com picos (máximos) em
e vales (mínimos e raízes) em
, onde
é qualquer número inteiro. O período da função é
e o valor absoluto garante que o gráfico não tenha partes negativas.
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Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo
é interceptado.
A reta passa pelo ponto e é paralela a
.
A reta passa pelo ponto
Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Resolva os seguintes sistemas (verifique a consistência das respostas encontradas):
.