Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
Vamos lá! Nós temos uma equação diferencial e uma condição inicial. A equação é:
Esse tipo de equação envolve derivadas e relações entre
e
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos rearrumar os termos para isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Essa forma ainda está complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Agora, vamos encontrar
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando
e
:
Passo 5
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Expandindo o primeiro termo:
Perceba que
e
se cancelam:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 8
Calculando as integrais:
- À esquerda:
- À direita:
Então, temos:
Passo 9
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
. Como
, então
.
Substituindo na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Substituindo
na equação geral:
Lembrando que
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Resolva os seguintes sistemas (verifique a consistência das respostas encontradas):
.
Encontre as raízes das seguintes equações: