Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(x + raiz(x y)) * d(y)/d(x) + x - y = x^(-1/2) * y^(3/2), y(1) = 1

Passo 1

Vamos lá! Nós temos uma equação diferencial e uma condição inicial. A equação é:
Esse tipo de equação envolve derivadas e relações entre e . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos rearrumar os termos para isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Essa forma ainda está complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Agora, vamos encontrar . Usando a regra do produto:

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Simplificando e :

Passo 5

Dividindo toda a equação por para simplificar:
Expandindo o primeiro termo:
Perceba que e se cancelam:

Passo 6

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 8

Calculando as integrais:
  • À esquerda:
  • À direita:
Então, temos:

Passo 9

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , . Como , então .
Substituindo na equação:
Sabemos que , então:

Passo 10

Substituindo na equação geral:
Lembrando que :

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = |cos(a x)|.
Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
d yd x=sumx ln yx
Resolva os seguintes sistemas (verifique a consistência das respostas encontradas):
x + 2y = 5, 3x - y = 1.
Encontre as raízes das seguintes equações:
x^6 + 2x^3 - 8 = 0