Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver esse tipo de equação, muitas vezes usamos uma substituição que simplifica a expressão. No nosso caso, vamos precisar fazer uma substituição que envolva
, já que ele aparece dentro do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Então, substituímos
na equação original:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Essa equação é separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
para integrá-las.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado direito é mais simples:
Passo 6
Integrando:
A integral do lado esquerdo não tem uma solução elemental fácil, então vamos deixar assim por enquanto.
Passo 7
Voltando à substituição original
, temos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para obter uma solução explícita, precisaríamos resolver a integral do lado esquerdo, o que pode não ser possível com funções elementares.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo
é interceptado.
A reta passa pelo ponto e é paralela a
.
A reta passa pelo ponto
Em cada situação abaixo, dados os dois pontos
e
, encontre a distância entre os pontos e a equação da reta que passa por eles.
.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.