Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = tan(a x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função , destacando seus máximos, mínimos e raízes, considerando que é um número real positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da função tangente e como o parâmetro afeta o gráfico dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente, , tem algumas características importantes:
  • Período: O período da tangente é . Isso significa que o gráfico se repete a cada unidades.
  • Assíntotas Verticais: Ocorrendo onde a função não está definida, especificamente em , onde é um número inteiro.
  • Raízes: A tangente é zero quando .
  • Crescimento: A função aumenta de a entre as assíntotas.

Passo 3

Agora, vamos analisar como o parâmetro influencia a função :
  • Período Modificado: O período da função passa a ser . Isso é porque o está multiplicando , o que “comprime” ou “alarga” o gráfico.
  • Assíntotas Verticais: Agora, as assíntotas estarão em .
  • Raízes: As raízes da função serão em .

Passo 4

Vamos resumir os principais pontos para desenhar o gráfico:
  1. Determine o período: .
  2. Trace as assíntotas verticais nos pontos .
  3. Marque as raízes nos pontos .
  4. Desenhe os ramos da tangente que aumentam de a entre cada par de assíntotas.
  5. Repita esse padrão para mostrar que o gráfico se repete a cada período .

Resposta

Então, o gráfico de consiste em várias repetições da curva da tangente, com período . As assíntotas verticais estão em e as raízes em , onde é qualquer inteiro. Entre cada par de assíntotas, a função cresce de a . Não há máximos ou mínimos absolutos, já que a função continua crescendo sem limites entre as assíntotas.

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