Esboce os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve os tópicos de funções logarítmicas e funções de valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto afeta a função e como o logaritmo se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo só está definido para números positivos, então precisamos que
. Isso significa que
ou seja,
. Então, o domínio é
exceto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o argumento do logaritmo:
. O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero, mas como já vimos,
, então
será sempre positivo. Isso cria uma simetria em relação ao ponto
.
Passo 4
Vamos encontrar pontos importantes. Por exemplo, quando
:
Então, temos o ponto
.
Outro ponto, quando
:
E quando
:
Então, temos o ponto
.
Passo 5
Vamos considerar as assíntotas. Sabemos que o logaritmo tem uma assíntota vertical onde o argumento é zero. Aqui, isso acontece em
. Então, o gráfico se aproxima de uma linha vertical em
mas nunca a toca.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos
e
:
- Para
, , então que é uma função logarítmica padrão deslocada para a direita em 1 unidade. - Para
, , então , que é uma reflexão da função logarítmica em relação ao eixo vertical.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Ele terá duas partes:
- Uma parte à direita de
, que se assemelha à função logarítmica normal, começando em e aumentando lentamente. - Outra parte à esquerda de
, que é a reflexão da parte direita.
Resposta
O gráfico de
consiste em duas ramos simétricos em relação à linha
:
-
Para
, é semelhante ao gráfico da função , iniciando em e passando pelos pontos e . -
Para
, é uma reflexão da parte direita em relação à linha , iniciando em e passando pelos pontos e .
Há uma assíntota vertical em
, e o gráfico nunca toca essa linha.