Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x) = log(|x - 1|)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve os tópicos de funções logarítmicas e funções de valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto afeta a função e como o logaritmo se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo só está definido para números positivos, então precisamos que . Isso significa que ou seja, . Então, o domínio é exceto .

Passo 3

Agora, vamos analisar o argumento do logaritmo: . O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero, mas como já vimos, , então será sempre positivo. Isso cria uma simetria em relação ao ponto .

Passo 4

Vamos encontrar pontos importantes. Por exemplo, quando :
Então, temos o ponto .
Outro ponto, quando :
E quando :
Então, temos o ponto .

Passo 5

Vamos considerar as assíntotas. Sabemos que o logaritmo tem uma assíntota vertical onde o argumento é zero. Aqui, isso acontece em . Então, o gráfico se aproxima de uma linha vertical em mas nunca a toca.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos e :
  • Para , , então que é uma função logarítmica padrão deslocada para a direita em 1 unidade.
  • Para , , então , que é uma reflexão da função logarítmica em relação ao eixo vertical.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Ele terá duas partes:
  • Uma parte à direita de , que se assemelha à função logarítmica normal, começando em e aumentando lentamente.
  • Outra parte à esquerda de , que é a reflexão da parte direita.

Resposta

O gráfico de consiste em duas ramos simétricos em relação à linha :
  • Para , é semelhante ao gráfico da função , iniciando em e passando pelos pontos e .
  • Para , é uma reflexão da parte direita em relação à linha , iniciando em e passando pelos pontos e .
Há uma assíntota vertical em , e o gráfico nunca toca essa linha.

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