Esboce os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco sobre funções logarítmicas e como o valor absoluto afeta a expressão dentro do logaritmo. Vamos precisar descobrir para quais valores de
a função está definida e depois plotar os pontos principais para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, o argumento
precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade. O valor absoluto
muda de expressão dependendo se
é positivo ou negativo. Então, vamos considerar dois casos:
-
Quando
: Então, a desigualdade fica:Como já consideramos, essa condição é sempre verdadeira nesse intervalo. -
Quando
: Agora, a desigualdade é:
Passo 4
Juntando os dois casos, o domínio da função é:
Pois para
, já atendemos a condição, e para
,
precisa ser maior que
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função
em cada intervalo:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico:
-
Quando
: Resolvendo:- Para
: Mas , então não consideramos esse valor. - Para
: Esse valor está dentro do intervalo, então .
- Para
-
Comportamento assintótico:
Conformese aproxima de pela direita, o argumento do log tende a zero, então tende a .
Passo 7
Vamos esboçar o gráfico com base nas informações:
-
Para
: - Passa por
- Quando
se aproxima de , vai para - Cresce conforme
aumenta até 1
- Passa por
-
Para
: - Passa por
- Continua crescendo à medida que
aumenta
- Passa por
Resposta
O gráfico da função
está definido para
e consiste em duas partes:
- Para
, , passando pelo ponto e tendendo a quando se aproxima de . - Para
, , passando pelo ponto e aumentando indefinidamente conforme aumenta.
O esboço do gráfico reflete essas duas porções contínuas e crescentes a partir de
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
tes funções:
A explosão da usina de Chernobil em 1986 lançou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos, ou seja, a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade.
Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .
Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .
Use as propriedades do logaritmo para expandir as expressões abaixo o máximo possível:
Na expansão de
encontramos a expressão
. Determine
.