Esboce os gráficos das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções logarítmicas e como o valor absoluto afeta a expressão dentro do logaritmo. Vamos precisar descobrir para quais valores de a função está definida e depois plotar os pontos principais para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo, o argumento precisa ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade. O valor absoluto muda de expressão dependendo se é positivo ou negativo. Então, vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    Então, a desigualdade fica:
    Como já consideramos , essa condição é sempre verdadeira nesse intervalo.
  2. Quando :
    Agora, a desigualdade é:

Passo 4

Juntando os dois casos, o domínio da função é:
Pois para , já atendemos a condição, e para , precisa ser maior que .

Passo 5

Agora, vamos expressar a função em cada intervalo:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 6

Vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico:
  • Quando :
    Resolvendo:
    • Para : Mas , então não consideramos esse valor.
    • Para : Esse valor está dentro do intervalo, então .
  • Comportamento assintótico:
    Conforme se aproxima de pela direita, o argumento do log tende a zero, então tende a .

Passo 7

Vamos esboçar o gráfico com base nas informações:
  1. Para :
    • Passa por
    • Quando se aproxima de , vai para
    • Cresce conforme aumenta até 1
  2. Para :
    • Passa por
    • Continua crescendo à medida que aumenta

Resposta

O gráfico da função está definido para e consiste em duas partes:
  • Para , , passando pelo ponto e tendendo a quando se aproxima de .
  • Para , , passando pelo ponto e aumentando indefinidamente conforme aumenta.
O esboço do gráfico reflete essas duas porções contínuas e crescentes a partir de .

Exercícios relacionados

Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
A explosão da usina de Chernobil em 1986 lançou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos, ou seja, a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade.
Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .
Use as propriedades do logaritmo para expandir as expressões abaixo o máximo possível:
Na expansão de encontramos a expressão . Determine .