A explosão da usina de Chernobil em 1986 lançou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos, ou seja, a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade.
Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .
Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A explosão da usina de Chernobil lançou 1000 kg de césio-137 na atmosfera. Sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos, o que significa que a cada 30 anos a quantidade de césio-137 cai pela metade. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo levará para que a massa de césio na atmosfera diminua para 1 kg. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial, que nos ajuda a calcular a quantidade restante de uma substância radioativa ao longo do tempo.
Passo 2
A fórmula do decaimento exponencial é:
Onde:
-
é a quantidade de substância restante após o tempo . -
é a quantidade inicial da substância. -
é a meia-vida da substância. -
é o tempo decorrido.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
-
kg (quantidade final desejada) -
kg (quantidade inicial) -
anos (meia-vida)
Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver para encontrar
. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por 1000:
Passo 5
Para resolver a equação exponencial, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados. Usaremos o logaritmo natural (
):
Passo 6
Aplicando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Calculando os valores dos logaritmos:
Substituindo na equação:
Resposta
A massa de césio na atmosfera reduzirá para 1 kg em aproximadamente 299 anos.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções
e
no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas:
e
Resolva, em
, as seguintes equações:
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
tes funções:
Esboce os gráficos das seguintes funções: