Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
usando a primeira derivada. Isso envolve descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos onde a função aumenta ou diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo ou descendo. A função que temos é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando uma função é a divisão de duas outras funções.
A regra do quociente diz que se
, então a derivada
é:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
e
:
-
- Para
, usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar a derivada encontrada:
Primeiro, expandimos os termos no numerador:
Substituindo de volta:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos igualar a derivada a zero:
A fração é zero quando o numerador é zero:
Mas observamos que no denominador temos
. Se
, o denominador se torna zero, o que faz a derivada não existir nesse ponto. Portanto, temos:
- Pontos críticos em
e (onde a derivada não existe).
Passo 5
Vamos analisar os intervalos definidos pelos pontos críticos para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Os intervalos são:
Vamos escolher um número em cada intervalo e calcular o sinal da derivada
:
-
Para
, por exemplo : A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
, por exemplo : A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo. -
Para
, por exemplo : A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 6
Vamos identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos:
-
Em
: A derivada muda de negativa para positiva, indicando que a função passa de decrescente para crescente. Isso significa que é um ponto de mínimo. -
Em
: A derivada não existe e a função tem uma assíntota vertical nesse ponto, já que o denominador da função original se anula.
Resposta
A função
é:
- Decrescente em
e - Crescente em
Possui um ponto de mínimo em
e uma assíntota vertical em
.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função
, sendo um polinômio de
grau, corta o eixo
(por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando
, mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que
tem uma e somente uma raiz.
Calcule as derivadas das funções: