Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso envolve descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos onde a função aumenta ou diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo ou descendo. A função que temos é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando uma função é a divisão de duas outras funções.
A regra do quociente diz que se , então a derivada é:
Aqui, e .
Primeiro, calculamos e :
  • Para , usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar a derivada encontrada:
Primeiro, expandimos os termos no numerador:
Substituindo de volta:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos igualar a derivada a zero:
A fração é zero quando o numerador é zero:
Mas observamos que no denominador temos . Se , o denominador se torna zero, o que faz a derivada não existir nesse ponto. Portanto, temos:
  • Pontos críticos em e (onde a derivada não existe).

Passo 5

Vamos analisar os intervalos definidos pelos pontos críticos para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Os intervalos são:
Vamos escolher um número em cada intervalo e calcular o sinal da derivada :
  1. Para , por exemplo :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  2. Para , por exemplo :
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
  3. Para , por exemplo :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Vamos identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos:
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva, indicando que a função passa de decrescente para crescente. Isso significa que é um ponto de mínimo.
  • Em : A derivada não existe e a função tem uma assíntota vertical nesse ponto, já que o denominador da função original se anula.

Resposta

A função é:
  • Decrescente em e
  • Crescente em
Possui um ponto de mínimo em e uma assíntota vertical em .

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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função , sendo um polinômio de grau, corta o eixo (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando , mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que tem uma e somente uma raiz.
Calcule as derivadas das funções: