Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função , sendo um polinômio de grau, corta o eixo (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando , mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que tem uma e somente uma raiz.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui são duas funções polinomiais: e . O objetivo é desenhar os gráficos dessas funções usando a primeira derivada, descobrir onde elas estão crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Além disso, queremos provar que cada uma dessas funções tem exatamente uma raiz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função . Para entender o comportamento dessa função, precisamos encontrar sua primeira derivada, que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada . Queremos saber onde essa derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos da função original.
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para :
Aqui percebemos que não existe nenhum número real que satisfaça essa equação, porque um quadrado de qualquer número real não pode ser negativo. Isso significa que nunca é igual a zero.

Passo 4

Como nunca é igual a zero e é sempre positiva (já que é sempre não negativo e adicionamos 1), concluímos que a função está sempre crescendo para todo .

Passo 5

Como a função está sempre crescendo e é um polinômio de grau ímpar, sabemos que ela corta o eixo pelo menos uma vez. Isso porque quando tende para , tende para , e quando tende para , tende para . Portanto, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real.

Passo 6

Além disso, como a função está sempre crescendo e não tem nenhum ponto de máximo ou mínimo (pois nunca é zero), isso implica que existe exatamente uma raiz real, já que a função só pode cruzar o eixo uma única vez.

Passo 7

Agora, vamos analisar a função . Primeiro, encontramos a sua primeira derivada:

Passo 8

Vamos analisar a derivada . Queremos ver se existe algum que faça . No entanto, todos os termos dessa derivada são positivos para qualquer real (já que e são sempre não negativos e somamos 3). Isso significa que nunca é zero e, portanto, a função está sempre crescendo.

Passo 9

Como a função está sempre crescendo e é um polinômio de grau ímpar, ela também deve cortar o eixo exatamente uma vez. Novamente, pelo comportamento de tendendo para e e pelo Teorema de Bolzano, garantimos que existe uma única raiz real.

Resposta

Ambas as funções e são estritamente crescentes em todo o seu domínio e possuem exatamente uma raiz real cada uma.

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Calcule as derivadas das funções:
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