Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função
, sendo um polinômio de
grau, corta o eixo
(por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando
, mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que
tem uma e somente uma raiz.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui são duas funções polinomiais:
e
. O objetivo é desenhar os gráficos dessas funções usando a primeira derivada, descobrir onde elas estão crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Além disso, queremos provar que cada uma dessas funções tem exatamente uma raiz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função
. Para entender o comportamento dessa função, precisamos encontrar sua primeira derivada, que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a derivada
. Queremos saber onde essa derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos da função original.
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Aqui percebemos que não existe nenhum número real que satisfaça essa equação, porque um quadrado de qualquer número real não pode ser negativo. Isso significa que
nunca é igual a zero.
Passo 4
Como
nunca é igual a zero e é sempre positiva (já que
é sempre não negativo e adicionamos 1), concluímos que a função
está sempre crescendo para todo
.
Passo 5
Como a função está sempre crescendo e é um polinômio de grau ímpar, sabemos que ela corta o eixo
pelo menos uma vez. Isso porque quando
tende para
,
tende para
, e quando
tende para
,
tende para
. Portanto, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real.
Passo 6
Além disso, como a função está sempre crescendo e não tem nenhum ponto de máximo ou mínimo (pois
nunca é zero), isso implica que existe exatamente uma raiz real, já que a função só pode cruzar o eixo
uma única vez.
Passo 7
Agora, vamos analisar a função
. Primeiro, encontramos a sua primeira derivada:
Passo 8
Vamos analisar a derivada
. Queremos ver se existe algum
que faça
. No entanto, todos os termos dessa derivada são positivos para qualquer
real (já que
e
são sempre não negativos e somamos 3). Isso significa que
nunca é zero e, portanto, a função
está sempre crescendo.
Passo 9
Como a função está sempre crescendo e é um polinômio de grau ímpar, ela também deve cortar o eixo
exatamente uma vez. Novamente, pelo comportamento de
tendendo para
e
e pelo Teorema de Bolzano, garantimos que existe uma única raiz real.
Resposta
Ambas as funções
e
são estritamente crescentes em todo o seu domínio e possuem exatamente uma raiz real cada uma.
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Calcule as derivadas das funções:
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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