Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai esboçar o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso envolve descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, para onde a função está subindo ou descendo. Aplicando as regras de derivação:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 4

Com os pontos críticos e , vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos para saber onde a função está crescendo ou diminuindo.
Para :
Escolhemos :
Para :
Escolhemos :
Para :
Escolhemos :

Passo 5

Com base nisso, a função é crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo . Agora, vamos determinar os valores máximos e mínimos locais.

Passo 6

Para identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos, observamos a mudança na derivada:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto máximo.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um ponto mínimo.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Para :
Para :

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo . Possui um ponto máximo local em e um ponto mínimo local em .

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Calcule as derivadas das funções:
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função , sendo um polinômio de grau, corta o eixo (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando , mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que tem uma e somente uma raiz.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .