Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai esboçar o gráfico da função
usando a primeira derivada. Isso envolve descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, para onde a função está subindo ou descendo. Aplicando as regras de derivação:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos para saber onde a função está crescendo ou diminuindo.
Para
:
Escolhemos :
Escolhemos
Para
:
Escolhemos :
Escolhemos
Para
:
Escolhemos :
Escolhemos
Passo 5
Com base nisso, a função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. Agora, vamos determinar os valores máximos e mínimos locais.
Passo 6
Para identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos, observamos a mudança na derivada:
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto máximo. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um ponto mínimo.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. Possui um ponto máximo local em
e um ponto mínimo local em
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções:
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função
, sendo um polinômio de
grau, corta o eixo
(por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando
, mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que
tem uma e somente uma raiz.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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