Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa desenhar o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso significa que vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar saber como calcular a derivada e entender o que ela nos diz sobre o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos ajuda a saber a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto, o que indica se a função está subindo ou descendo.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar onde ela é zero ou não existe, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Igualando a derivada a zero:
A derivada não existe quando , mas como a função original também não está definida em , não precisamos considerar esse ponto para o gráfico.

Passo 4

Vamos dividir a linha dos números em intervalos com base nos valores críticos que encontramos ( e ) e verificar o sinal da derivada em cada intervalo.
  1. Intervalo (-∞, -1):
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo (-1, 0):
    Não consideramos aqui, pois a função não está definida em .
  3. Intervalo (0, 1):
    Escolha :
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo (1, +∞):
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo local. Esses pontos ocorrem onde a derivada muda de positiva para negativa ou vice-versa.
  • Em :
    A derivada passa de positiva (quando ) para positiva (quando , mas a função não está definida em ). Como não há mudança de sinal, não há máximo ou mínimo aqui.
  • Em :
    A derivada passa de negativa (quando ) para positiva (quando ). Isso indica que há um mínimo local em .
Vamos calcular o valor mínimo:

Passo 6

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
  • A função está crescendo em e .
  • A função está decrescendo em .
  • Há um mínimo local em .
Além disso, a função não está definida em , criando uma assíntota vertical.

Resposta

O gráfico da função apresenta crescimento nos intervalos e , está decrescendo no intervalo , e tem um ponto de mínimo local em com valor .

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