Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa desenhar o gráfico da função
usando a primeira derivada. Isso significa que vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar saber como calcular a derivada e entender o que ela nos diz sobre o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos ajuda a saber a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto, o que indica se a função está subindo ou descendo.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar onde ela é zero ou não existe, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Igualando a derivada a zero:
A derivada não existe quando
, mas como a função original também não está definida em
, não precisamos considerar esse ponto para o gráfico.
Passo 4
Vamos dividir a linha dos números em intervalos com base nos valores críticos que encontramos (
e
) e verificar o sinal da derivada em cada intervalo.
-
Intervalo (-∞, -1):
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo (-1, 0):
Não consideramos aqui, pois a função não está definida em. -
Intervalo (0, 1):
Escolha: A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo (1, +∞):
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo local. Esses pontos ocorrem onde a derivada muda de positiva para negativa ou vice-versa.
-
Em
:
A derivada passa de positiva (quando) para positiva (quando , mas a função não está definida em ). Como não há mudança de sinal, não há máximo ou mínimo aqui. -
Em
:
A derivada passa de negativa (quando) para positiva (quando ). Isso indica que há um mínimo local em .
Vamos calcular o valor mínimo:
Passo 6
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
- A função está crescendo em
e . - A função está decrescendo em
. - Há um mínimo local em
.
Além disso, a função não está definida em
, criando uma assíntota vertical.
Resposta
O gráfico da função
apresenta crescimento nos intervalos
e
, está decrescendo no intervalo
, e tem um ponto de mínimo local em
com valor
.
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. Determine a função Lucro (
) sabendo que
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