Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso significa que vamos descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo e mínimo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e analisar o comportamento da derivada nos intervalos determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto, o que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso, nossa derivada sempre existe, então vamos igualar a zero para encontrar os valores de :
Podemos fatorar:
Assim, temos:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
Temos três intervalos para verificar:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de :
  1. Para , digamos :
Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Para , digamos :
Como já sabemos os pontos críticos, podemos ver que a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto. Então, a função está aumentando nesse intervalo.
  1. Para , digamos :
A derivada é positiva, então a função continua aumentando nesse intervalo.

Passo 5

Com base nisso, podemos identificar os máximos e mínimos locais:
  • Em : a derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em : a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em : a derivada é zero, mas não há mudança de sinal, então não é nem máximo nem mínimo.
Vamos calcular os valores dessas extremidades substituindo na função original:
Para :
Então, temos um mínimo em .
Para :
Então, temos um máximo em .

Resposta

A função é decrescente para , crescente para e crescente para . Possui um mínimo local no ponto e um máximo local no ponto .

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Calcule as derivadas das funções:
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
(a) Determine o custo diário do aluguel de cada campanhia em função do número de milhas percorridas.