Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre derivadas. Vamos descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando. A derivada de
usando a regra do quociente é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, a derivada não existe em
e
.
Passo 4
Vamos ver onde a derivada é zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos
,
e
. Dividimos a reta dos números reais nesses intervalos:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e ver o sinal da derivada.
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos : -
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Passo 6
Com os sinais da derivada definidos, vamos interpretar:
-
Crescente quando
: -
-
Decrescente quando
: -
Agora, vamos ver os pontos de máximo ou mínimo:
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto máximo local.
Nos outros pontos críticos
e
, a função não está definida, então não consideramos pontos máximos ou mínimos nesses valores.
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente nos intervalos
e .
Há um ponto máximo local em
.
O gráfico apresenta assíntotas em
e
, onde a função não está definida.
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e tendo as propriedades:
e
(para todo
).