Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre derivadas. Vamos descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando. A derivada de usando a regra do quociente é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, a derivada não existe em e .

Passo 4

Vamos ver onde a derivada é zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Agora, vamos determinar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos , e . Dividimos a reta dos números reais nesses intervalos:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e ver o sinal da derivada.
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :

Passo 6

Com os sinais da derivada definidos, vamos interpretar:
  • Crescente quando :
  • Decrescente quando :
Agora, vamos ver os pontos de máximo ou mínimo:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto máximo local.
Nos outros pontos críticos e , a função não está definida, então não consideramos pontos máximos ou mínimos nesses valores.

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente nos intervalos e .
Há um ponto máximo local em .
O gráfico apresenta assíntotas em e , onde a função não está definida.

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