Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . A matéria envolvida aqui é o estudo de funções logarítmicas, especificamente a função logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar identificar características importantes do gráfico, como domínio, interceptos, assíntotas e comportamento geral da função.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função . O logaritmo natural está definido apenas para valores de maiores que zero. Portanto, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo y. Para isso, substituímos porque . Assim, o ponto de interseção é:

Passo 4

Em seguida, identificamos a assíntota vertical. A função tem uma assíntota vertical no ponto onde , já que a função tende ao menos infinito quando se aproxima de zero pela direita.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função:
  • À medida que aumenta, cresce lentamente sem limite superior.
  • À medida que se aproxima de 0 pela direita, tende a menos infinito.

Passo 6

Agora, plotamos alguns pontos adicionais para ter uma ideia melhor da curva:
  • então o ponto é
  • então o ponto é
  • então o ponto é

Passo 7

Com todas essas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico:
  • Começamos com a assíntota vertical em .
  • Passamos pelo ponto .
  • Traçamos a curva que passa pelos outros pontos plotados, aumentando lentamente conforme aumenta.
  • A curva nunca toca a assíntota vertical e se estende indefinidamente para a direita.

Resposta

O gráfico de é uma curva que passa pelo ponto (1, 0), tem uma assíntota vertical em , e cresce lentamente à medida que aumenta, estendendo-se indefinidamente para a direita.

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