Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a função secante, suas características principais como período, assíntotas, máximos e mínimos, e como identificar esses elementos no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função secante. A secante é o inverso da função cosseno, ou seja:
Isso significa que onde o cosseno for zero, a secante não estará definida, o que gera assíntotas verticais no gráfico.
Passo 3
Vamos identificar onde o cosseno é zero, porque nesses pontos a secante terá assíntotas. Sabemos que
quando:
Portanto, as assíntotas verticais de
ocorrem nesses valores de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o período da função secante. O período é o intervalo no qual a função se repete. Como o cosseno tem período
, e a secante é uma transformação dele, a funç��o
também tem período
.
Passo 5
Vamos determinar os pontos de interseção com o eixo
. Para isso, avaliamos
:
Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1).
Passo 6
Vamos identificar o comportamento da função entre as assíntotas. Por exemplo, entre
e
, o cosseno é positivo, então a secante também será positiva. O gráfico vai se aproximar das assíntotas verticais conforme
se aproxima de
.
Passo 7
Repetindo o comportamento para outros períodos, podemos desenhar o gráfico completo considerando a periodicidade e as assíntotas identificadas.
Resposta
O gráfico de
consiste em curvas que se aproximam das assíntotas verticais em
para todo inteiro
, com pontos de mínimo e máximo em
e
respectivamente. A função é periódica com período
e passa pelo ponto (0, 1). Entre cada par de assíntotas, o gráfico forma uma “U” voltada para cima ou para baixo, dependendo do intervalo considerado.