Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções, como domínio, interceptos e comportamento da função. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de
e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação para encontrar o domínio.
Passo 3
Para resolver
, calculamos o discriminante
da equação quadrática
:
Como
, a equação não tem raízes reais, o que significa que a expressão
é sempre positiva para qualquer valor de
. Portanto, o domínio da função é todo número real:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico, ou seja, onde a função corta os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
: Para encontrar, basta calcular
:
Portanto, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Interceptos com o eixo
: Precisaríamos resolver
:
Já vimos que essa equação não tem soluções reais, então não há interceptos com o eixo
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para
indo para
e
. Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta nas extremidades.
Para
muito grande (positivo ou negativo), o termo dominante na expressão dentro da raiz é
. Então:
Isso significa que, para
grande, o gráfico se aproxima das retas
para
e
para
.
Passo 6
Vamos calcular alguns valores específicos para plotar pontos no gráfico:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos ajudarão a desenhar o gráfico com mais precisão.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é todo número real.
- A função passa pelo ponto
. - Não há interceptos com o eixo
. - Para
grande positivo ou negativo, o gráfico se aproxima das retas e , respectivamente. - Pontos adicionais:
e .
Resposta
O esboço do gráfico da função
é uma curva contínua que passa pelo ponto
e se aproxima das retas
para
positivo e
para
negativo. Não há interceptos com o eixo
e o gráfico está definido para todos os valores reais de
.
Exercícios relacionados
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
, com
e
.
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo: