Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções, como domínio, interceptos e comportamento da função. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação para encontrar o domínio.

Passo 3

Para resolver , calculamos o discriminante da equação quadrática :
Como , a equação não tem raízes reais, o que significa que a expressão é sempre positiva para qualquer valor de . Portanto, o domínio da função é todo número real:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico, ou seja, onde a função corta os eixos e .
Intercepto com o eixo : Para encontrar, basta calcular :
Portanto, o intercepto com o eixo é o ponto .
Interceptos com o eixo : Precisaríamos resolver :
Já vimos que essa equação não tem soluções reais, então não há interceptos com o eixo .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para indo para e . Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta nas extremidades.
Para muito grande (positivo ou negativo), o termo dominante na expressão dentro da raiz é . Então:
Isso significa que, para grande, o gráfico se aproxima das retas para e para .

Passo 6

Vamos calcular alguns valores específicos para plotar pontos no gráfico:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos ajudarão a desenhar o gráfico com mais precisão.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. O domínio é todo número real.
  2. A função passa pelo ponto .
  3. Não há interceptos com o eixo .
  4. Para grande positivo ou negativo, o gráfico se aproxima das retas e , respectivamente.
  5. Pontos adicionais: e .

Resposta

O esboço do gráfico da função é uma curva contínua que passa pelo ponto e se aproxima das retas para positivo e para negativo. Não há interceptos com o eixo e o gráfico está definido para todos os valores reais de .

Exercícios relacionados

Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo: , com e .
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo: