Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções polinomiais, especificamente funções do terceiro grau, que são conhecidas como funções cúbicas. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar interceptos, comportamento nas extremidades, pontos críticos e pontos de inflexão. Tudo isso vai ajudar a gente a desenhar um gráfico bem completinho.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. Como
é um polinômio, o domínio é todo número real. Ou seja, podemos calcular f(x) para qualquer valor de x.
Passo 3
Agora, vamos achar o intercepto y, que é o valor de f(x) quando
. Substituindo:
Então, o intercepto y é
.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos x, que são os valores de x onde
. Vamos resolver a equação:
Podemos tentar fatorar:
Então, as soluções são
(de multiplicidade 2) e
. Portanto, os interceptos x são
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento nas extremidades da função, ou seja, o que acontece com f(x) quando
vai para
ou
. O termo de maior grau é
, então:
- Quando
, . - Quando
, .
Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta nas extremidades.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada primeira
é zero ou não existe. Como nossa função é polinomial, a derivada existe para todo x. Calculando:
Vamos resolver
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
e
. Esses são os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, calculamos a derivada segunda
:
Igualando a zero para encontrar os pontos de inflexão:
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico:
- Intercepto y:
- Interceptos x:
e - Comportamento nas extremidades:
quando e quando - Pontos críticos:
(mínimo local) e (máximo local) - Ponto de inflexão:
Com esses pontos e comportamentos, conseguimos desenhar o gráfico da função cúbica
, mostrando as curvas e as mudanças de concavidade.
Resposta
O gráfico da função
possui interceptos em
,
e
, apresenta um mínimo local em
, um máximo local em
, e um ponto de inflexão em
. Nas extremidades, o gráfico vai para
quando
aumenta e para
quando
diminui. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico completo da função.
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