Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . A matéria envolvida aqui é o estudo de funções polinomiais, especificamente funções do terceiro grau, que são conhecidas como funções cúbicas. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar interceptos, comportamento nas extremidades, pontos críticos e pontos de inflexão. Tudo isso vai ajudar a gente a desenhar um gráfico bem completinho.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. Como é um polinômio, o domínio é todo número real. Ou seja, podemos calcular f(x) para qualquer valor de x.

Passo 3

Agora, vamos achar o intercepto y, que é o valor de f(x) quando . Substituindo:
Então, o intercepto y é .

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos x, que são os valores de x onde . Vamos resolver a equação:
Podemos tentar fatorar:
Então, as soluções são (de multiplicidade 2) e . Portanto, os interceptos x são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento nas extremidades da função, ou seja, o que acontece com f(x) quando vai para ou . O termo de maior grau é , então:
  • Quando , .
  • Quando , .
Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta nas extremidades.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada primeira é zero ou não existe. Como nossa função é polinomial, a derivada existe para todo x. Calculando:
Vamos resolver :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, e . Esses são os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, calculamos a derivada segunda :
Igualando a zero para encontrar os pontos de inflexão:
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 8

Vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico:
  • Intercepto y:
  • Interceptos x: e
  • Comportamento nas extremidades: quando e quando
  • Pontos críticos: (mínimo local) e (máximo local)
  • Ponto de inflexão:
Com esses pontos e comportamentos, conseguimos desenhar o gráfico da função cúbica , mostrando as curvas e as mudanças de concavidade.

Resposta

O gráfico da função possui interceptos em , e , apresenta um mínimo local em , um máximo local em , e um ponto de inflexão em . Nas extremidades, o gráfico vai para quando aumenta e para quando diminui. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico completo da função.

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