Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função
. Estamos trabalhando com funções matemáticas, especialmente envolvendo radicais e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de
, identificar pontos importantes como interceptos e assíntotas, e analisar a derivada para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiramente, vamos identificar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Na expressão
, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos:
- Intercepto com o eixo y: Para isso, substituímos
:
Então, o intercepto com o eixo y ��
.
- Intercepto com o eixo x: Isso ocorre quando
. Porém, olhando para a função , percebemos que o denominador nunca é infinito e o numerador é sempre 1, então nunca será zero. Portanto, não há intercepto com o eixo x.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para
indo para o infinito positivo e para
se aproximando de -1:
- Para
próximo de -1:
Então,
Isso indica que existe uma assíntota vertical em
.
- Para
indo para o infinito positivo:
Então,
se aproxima de 0, indicando uma assíntota horizontal em
(eixo x).
Passo 5
Vamos verificar o comportamento da derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Observamos que
para todo
, o que significa que a função está sempre decrescendo no seu domínio.
Passo 6
Vamos agora calcular alguns valores específicos para ter mais pontos no gráfico:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos ajudam a ver como a função se comporta à medida que
aumenta.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função está definida para
. - Passa pelo ponto
. - Tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em . - Está sempre decrescendo no domínio.
- Passa por
e diminui em direção a 0 conforme aumenta.
Resposta
O gráfico da função
tem uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, passa pelo ponto
, e está sempre decrescendo para
. Conforme
aumenta,
se aproxima de 0.
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