Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com funções matemáticas, especialmente envolvendo radicais e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de , identificar pontos importantes como interceptos e assíntotas, e analisar a derivada para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiramente, vamos identificar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Na expressão , o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: Para isso, substituímos :
Então, o intercepto com o eixo y �� .
  • Intercepto com o eixo x: Isso ocorre quando . Porém, olhando para a função , percebemos que o denominador nunca é infinito e o numerador é sempre 1, então nunca será zero. Portanto, não há intercepto com o eixo x.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para indo para o infinito positivo e para se aproximando de -1:
  • Para próximo de -1:
Então,
Isso indica que existe uma assíntota vertical em .
  • Para indo para o infinito positivo:
Então, se aproxima de 0, indicando uma assíntota horizontal em (eixo x).

Passo 5

Vamos verificar o comportamento da derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Calculamos a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Observamos que para todo , o que significa que a função está sempre decrescendo no seu domínio.

Passo 6

Vamos agora calcular alguns valores específicos para ter mais pontos no gráfico:
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos ajudam a ver como a função se comporta à medida que aumenta.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função está definida para .
  • Passa pelo ponto .
  • Tem uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .
  • Está sempre decrescendo no domínio.
  • Passa por e diminui em direção a 0 conforme aumenta.

Resposta

O gráfico da função tem uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , passa pelo ponto , e está sempre decrescendo para . Conforme aumenta, se aproxima de 0.

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