Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender alguns conceitos de funções racionais, como determinar o domínio, interceptos, assíntotas e o comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que deixam a função definida. Como temos um denominador
, ele não pode ser igual a zero. Então, resolvemos:
Isso significa que
e
não estão no domínio. Portanto, o domínio é todos os reais menos esses dois valores.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo
: É onde .
Então, o intercepto com o eixo
é
.
- Interceptos com o eixo
: São onde .
Portanto, os interceptos com o eixo
são
e
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador é zero e o numerador não zera ao mesmo tempo.
Como vimos, o denominador é zero em
e
. Verificamos o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Comparamos os graus do numerador e do denominador.
- O numerador
tem grau 2. - O denominador
também tem grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais (
e
). Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta em cada região.
- Para
- Para
- Para
Em cada intervalo, escolhemos um valor de
e verificamos o sinal de
para ver se o gráfico está acima ou abaixo da assíntota horizontal.
Passo 7
Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função
:
- O gráfico passa pelos pontos
e . - Possui assíntotas verticais em
e . - Tem uma assíntota horizontal em
. - O comportamento em cada intervalo nos ajuda a desenhar as curvas que se aproximam das assíntotas.
Resposta
O gráfico de
possui interceptos em
e
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Com base nisso, o esboço apresenta curvas que se aproximam dessas assíntotas e passam pelos interceptos identificados.
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