Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender alguns conceitos de funções racionais, como determinar o domínio, interceptos, assíntotas e o comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que deixam a função definida. Como temos um denominador , ele não pode ser igual a zero. Então, resolvemos:
Isso significa que e não estão no domínio. Portanto, o domínio é todos os reais menos esses dois valores.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo : É onde .
Então, o intercepto com o eixo é .
  • Interceptos com o eixo : São onde .
Portanto, os interceptos com o eixo são e .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador é zero e o numerador não zera ao mesmo tempo.
Como vimos, o denominador é zero em e . Verificamos o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Comparamos os graus do numerador e do denominador.
  • O numerador tem grau 2.
  • O denominador também tem grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
í
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais ( e ). Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta em cada região.
  • Para
  • Para
  • Para
Em cada intervalo, escolhemos um valor de e verificamos o sinal de para ver se o gráfico está acima ou abaixo da assíntota horizontal.

Passo 7

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função :
  • O gráfico passa pelos pontos e .
  • Possui assíntotas verticais em e .
  • Tem uma assíntota horizontal em .
  • O comportamento em cada intervalo nos ajuda a desenhar as curvas que se aproximam das assíntotas.

Resposta

O gráfico de possui interceptos em e , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . Com base nisso, o esboço apresenta curvas que se aproximam dessas assíntotas e passam pelos interceptos identificados.

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