Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos usar conceitos de cálculo e análise de funções, como domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para entender o comportamento da função e, por fim, montar o esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. A função envolve o logaritmo natural , que só está definido para . Além disso, como estamos elevando o logaritmo ao quadrado, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: ocorre quando . Mas, como o domínio é , não existe intercepto com o eixo y.
  • Intercepto com o eixo x: ocorre quando .
Isso acontece quando ou . Já vimos que não está no domínio, então:
Portanto, o único intercepto com o eixo x é em .

Passo 4

Vamos verificar se existem assíntotas.
  • Assíntota vertical: ocorre quando se aproxima de um valor onde a função tende ao infinito. Aqui, tende a 0, e tende a . Mas, como fica positivo e multiplicado por que tende a 0, a função tende a 0. Então, não há assíntota vertical.
  • Assíntota horizontal: analisando o limite quando tende a :
Então, não há assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para entender melhor o gráfico.
  • Para próximo de 0 (mas positivo), é negativo, mas é positivo. Multiplicado por , que também é positivo e próximo de 0, a função tende a 0.
  • Em , temos o intercepto.
  • Conforme aumenta, cresce lentamente, então cresce ainda mais, fazendo a função crescer de forma crescente.

Passo 6

Vamos calcular a derivada para encontrar pontos de crescimento e decrescimento.
Usando a regra do produto:
Analisando :
  • quando ou .
Então, a função tem pontos críticos em e .

Passo 7

Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Para :
    • é negativo.
    • também é negativo (pois ).
    • Produto de dois negativos é positivo → .
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo (pois ).
    • Produto de negativo e positivo é negativo → .
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto de dois positivos é positivo → .
Isso significa que:
  • A função cresce no intervalo .
  • Decréscimo em .
  • Crescimento novamente para .

Passo 8

Por fim, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Dominio:
  • Intercepto com o eixo x:
  • Crescimento:
    • Cresce de a .
    • Decrece de a .
    • Cresce novamente para .
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Comportamento nos extremos:
    • Conforme tende a 0, tende a 0.
    • Conforme tende a , tende a .
Com tudo isso, você pode desenhar o gráfico mostrando esses comportamentos e pontos-chave.

Resposta

O gráfico da função tem domínio para , intercepta o eixo x em , cresce no intervalo , decresce de a e cresce novamente para . Não possui assíntotas e tende a quando tende a .

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