Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de cálculo e análise de funções, como domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para entender o comportamento da função e, por fim, montar o esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. A função envolve o logaritmo natural
, que só está definido para
. Além disso, como estamos elevando o logaritmo ao quadrado, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
-
Intercepto com o eixo y: ocorre quando
. Mas, como o domínio é , não existe intercepto com o eixo y. -
Intercepto com o eixo x: ocorre quando
.
Isso acontece quando
ou
. Já vimos que
não está no domínio, então:
Portanto, o único intercepto com o eixo x é em
.
Passo 4
Vamos verificar se existem assíntotas.
-
Assíntota vertical: ocorre quando
se aproxima de um valor onde a função tende ao infinito. Aqui, tende a 0, e tende a . Mas, como fica positivo e multiplicado por que tende a 0, a função tende a 0. Então, não há assíntota vertical. -
Assíntota horizontal: analisando o limite quando
tende a :
Então, não há assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para entender melhor o gráfico.
- Para
próximo de 0 (mas positivo), é negativo, mas é positivo. Multiplicado por , que também é positivo e próximo de 0, a função tende a 0. - Em
, temos o intercepto. - Conforme
aumenta, cresce lentamente, então cresce ainda mais, fazendo a função crescer de forma crescente.
Passo 6
Vamos calcular a derivada para encontrar pontos de crescimento e decrescimento.
Usando a regra do produto:
Analisando
:
-
quando ou . -
-
Então, a função tem pontos críticos em
e
.
Passo 7
Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
-
Para
: -
é negativo. -
também é negativo (pois ). - Produto de dois negativos é positivo →
.
-
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo (pois ). - Produto de negativo e positivo é negativo →
.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto de dois positivos é positivo →
.
-
Isso significa que:
- A função cresce no intervalo
. - Decréscimo em
. - Crescimento novamente para
.
Passo 8
Por fim, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Dominio:
- Intercepto com o eixo x:
- Crescimento:
- Cresce de
a . - Decrece de
a . - Cresce novamente para
.
- Cresce de
- Assíntotas: Nenhuma
- Comportamento nos extremos:
- Conforme
tende a 0, tende a 0. - Conforme
tende a , tende a .
- Conforme
Com tudo isso, você pode desenhar o gráfico mostrando esses comportamentos e pontos-chave.
Resposta
O gráfico da função
tem domínio para
, intercepta o eixo x em
, cresce no intervalo
, decresce de
a
e cresce novamente para
. Não possui assíntotas e tende a
quando
tende a
.
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