integral tg x sec ^3 / 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que temos u = sec x e du = sec x , tan x , dx , cuja derivada está relacionada. Então, vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a substituir parte da integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos:
integral tan x , sec^3/2 x , dx = integral sec^1/2 x cdot sec x , tan x , dx
Substituindo integral u^1/2 , du e , a integral fica:

Passo 4

Agora, integramos em termos de integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

23 sec^3/2 x + C

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