Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular seus interceptos, analisar o comportamento da função quando aumenta ou diminui, e verificar se há algum ponto de máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para números maiores que zero. Então, precisamos que o argumento seja positivo:
Como é sempre positivo ou zero, será sempre maior que zero para qualquer valor de . Portanto, o domínio da função é todos os números reais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Para o intercepto com o eixo , buscamos valores de para os quais :
Isso implica que:
Então, o único intercepto com o eixo também é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo. Quando cresce, aumenta bastante, então:
Isso significa que, para valores grandes de , a função cresce lentamente, já que o logaritmo cresce mais devagar que funções polinomiais.

Passo 5

Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos que podem indicar máximos ou mínimos. A derivada de em relação a é:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando .
Analisando a segunda derivada para verificar a concavidade:
No ponto :
Então, temos um ponto de mínimo em .

Passo 6

Agora, vamos resumir as características da função:
  • Domínio: todos os números reais.
  • Intercepto no ponto .
  • Comportamento: cresce para positivo e negativo, sem assíntotas verticais.
  • Ponto de mínimo em .
  • A função é simétrica em relação ao eixo porque é par.

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função . Ele começa no ponto , cresce suavemente à medida que aumenta, sem nunca descer abaixo do ponto de mínimo. O gráfico é simétrico em relação ao eixo e não possui assíntotas verticais.

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