Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular seus interceptos, analisar o comportamento da função quando
aumenta ou diminui, e verificar se há algum ponto de máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O logaritmo natural,
, só está definido para números maiores que zero. Então, precisamos que o argumento
seja positivo:
Como
é sempre positivo ou zero,
será sempre maior que zero para qualquer valor de
. Portanto, o domínio da função é todos os números reais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Para o intercepto com o eixo
, buscamos valores de
para os quais
:
Isso implica que:
Então, o único intercepto com o eixo
também é
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo. Quando
cresce,
aumenta bastante, então:
Isso significa que, para valores grandes de
, a função cresce lentamente, já que o logaritmo cresce mais devagar que funções polinomiais.
Passo 5
Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos que podem indicar máximos ou mínimos. A derivada de
em relação a
é:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando
.
Analisando a segunda derivada para verificar a concavidade:
No ponto
:
Então, temos um ponto de mínimo em
.
Passo 6
Agora, vamos resumir as características da função:
- Domínio: todos os números reais.
- Intercepto no ponto
. - Comportamento: cresce para
positivo e negativo, sem assíntotas verticais. - Ponto de mínimo em
. - A função é simétrica em relação ao eixo
porque é par.
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. Ele começa no ponto
, cresce suavemente à medida que
aumenta, sem nunca descer abaixo do ponto de mínimo. O gráfico é simétrico em relação ao eixo
e não possui assíntotas verticais.
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