Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função
. Vamos trabalhar com o conteúdo de Funções e seus Gráficos, especificamente analisando raízes, derivadas e comportamento da função. Para resolver isso, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptos, domínio, intervalos de aumento e diminuição, e como a função se comporta próximo a esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida para todo
, porque estamos elevando a um expoente fracionário com denominador ímpar (o cubo). Portanto, não há restrições no domínio.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
-
Intercepto com o eixo
: Acontece quando . Então, o intercepto com o eixoé aproximadamente . -
Intercepto com o eixo
: Acontece quando . Isso ocorre quandoou . -
dá -
dá
Portanto, os interceptos com o eixosão e . -
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função em torno dos pontos importantes que encontramos, especialmente em
e
.
-
Perto de
: Vamos escolher valores próximos apara ver como a função se comporta. Por exemplo, para: E para: Isso mostra que a função cruza o eixoem e passa de negativa para positiva. -
Perto de
: Vamos ver como a função se comporta quandose aproxima de 3. Para: Para: Observamos que a função toca o eixoem , mas não o atravessa, indicando um ponto de tangência.
Passo 5
Vamos examinar o comportamento da função para valores grandes de
, ou seja, quando
tende a
e
.
-
Para
: -
Para
: Portanto, a função tende aquando vai para e a quando vai para .
Passo 6
Vamos resumir os pontos e comportamentos chave para esboçar o gráfico:
-
Interceptos:
- Com o eixo
: - Com o eixo
: e
- Com o eixo
-
Comportamento em torno de
: - A função cruza o eixo
passando de negativa para positiva.
- A função cruza o eixo
-
Comportamento em torno de
: - A função toca o eixo
e não o atravessa, formando um ponto de tangência.
- A função toca o eixo
-
Comportamento assintótico:
-
: -
:
-
Com base nessas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico, garantindo que ele passe pelos pontos identificados e siga o comportamento observado.
Resposta
O gráfico de
apresenta interceptos em
e
, cruza o eixo
em
e toca o eixo em
. A função tende a
quando
e a
quando
. Com essas características, o esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.
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