Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função . Vamos trabalhar com o conteúdo de Funções e seus Gráficos, especificamente analisando raízes, derivadas e comportamento da função. Para resolver isso, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptos, domínio, intervalos de aumento e diminuição, e como a função se comporta próximo a esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todo , porque estamos elevando a um expoente fracionário com denominador ímpar (o cubo). Portanto, não há restrições no domínio.
Domínio: (todos os números reais)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo : Acontece quando .
    Então, o intercepto com o eixo é aproximadamente .
  • Intercepto com o eixo : Acontece quando .
    Isso ocorre quando ou .
    Portanto, os interceptos com o eixo são e .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função em torno dos pontos importantes que encontramos, especialmente em e .
  • Perto de :
    Vamos escolher valores próximos a para ver como a função se comporta.
    Por exemplo, para :
    E para :
    á
    Isso mostra que a função cruza o eixo em e passa de negativa para positiva.
  • Perto de :
    Vamos ver como a função se comporta quando se aproxima de 3.
    Para :
    Para :
    Observamos que a função toca o eixo em , mas não o atravessa, indicando um ponto de tangência.

Passo 5

Vamos examinar o comportamento da função para valores grandes de , ou seja, quando tende a e .
  • Para :
  • Para :
    Portanto, a função tende a quando vai para e a quando vai para .

Passo 6

Vamos resumir os pontos e comportamentos chave para esboçar o gráfico:
  • Interceptos:
    • Com o eixo :
    • Com o eixo : e
  • Comportamento em torno de :
    • A função cruza o eixo passando de negativa para positiva.
  • Comportamento em torno de :
    • A função toca o eixo e não o atravessa, formando um ponto de tangência.
  • Comportamento assintótico:
    • :
    • :
Com base nessas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico, garantindo que ele passe pelos pontos identificados e siga o comportamento observado.

Resposta

O gráfico de apresenta interceptos em e , cruza o eixo em e toca o eixo em . A função tende a quando e a quando . Com essas características, o esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos de:
Esboce os gráficos de:
Esboce os gráficos de:
Esboce os gráficos de: