Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Esse tipo de função faz parte da matéria de Funções Polinomiais, especificamente de polinômios de grau 4. Para resolver, vamos precisar entender como identificar pontos importantes do gráfico, como interceptações e pontos de máximo e mínimo, além de analisar a simetria da função.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função para facilitar a análise:
Agora temos a função na forma padrão, o que nos ajuda a identificar o grau e os coeficientes.

Passo 3

Vamos encontrar as interceptações com o eixo . Para isso, substituímos :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 4

Para encontrar as interceptações com o eixo , resolvemos :
Portanto, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 5

Vamos analisar a simetria da função. Como todos os expoentes de são pares, a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo . Isso significa que o gráfico é igual dos dois lados do eixo .

Passo 6

Vamos identificar os pontos críticos para encontrar máximos e mínimos. Calculamos a derivada da função:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Já sabemos que em , . Vamos verificar o que acontece em :
Então, temos um ponto de máximo local em .

Passo 7

Analisando o comportamento da função quando tende ao infinito:
Isso significa que o gráfico sobe para cima em ambas as direções.

Passo 8

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
  • Pontos de interseção: , , e .
  • Simetria em relação ao eixo .
  • Como vai para , também vai para .

Resposta

O gráfico de é uma parábola de grau 4, simétrica em relação ao eixo , com interceptações nos pontos , e um ponto de máximo em . Conforme se afasta do centro, o gráfico sobe indefinidamente.

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