Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de função faz parte da matéria de Funções Polinomiais, especificamente de polinômios de grau 4. Para resolver, vamos precisar entender como identificar pontos importantes do gráfico, como interceptações e pontos de máximo e mínimo, além de analisar a simetria da função.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função para facilitar a análise:
Agora temos a função na forma padrão, o que nos ajuda a identificar o grau e os coeficientes.
Passo 3
Vamos encontrar as interceptações com o eixo
. Para isso, substituímos
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Para encontrar as interceptações com o eixo
, resolvemos
:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 5
Vamos analisar a simetria da função. Como todos os expoentes de
são pares, a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que o gráfico é igual dos dois lados do eixo
.
Passo 6
Vamos identificar os pontos críticos para encontrar máximos e mínimos. Calculamos a derivada da função:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Já sabemos que em
,
. Vamos verificar o que acontece em
:
Então, temos um ponto de máximo local em
.
Passo 7
Analisando o comportamento da função quando
tende ao infinito:
Isso significa que o gráfico sobe para cima em ambas as direções.
Passo 8
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
- Pontos de interseção:
, , e . - Simetria em relação ao eixo
. - Como
vai para , também vai para .
Resposta
O gráfico de
é uma parábola de grau 4, simétrica em relação ao eixo
, com interceptações nos pontos
,
e um ponto de máximo em
. Conforme
se afasta do centro, o gráfico sobe indefinidamente.
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