Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender como os gráficos de funções polinomiais se comportam. Para resolver isso, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptações com os eixos, pontos de máximo e mínimo, e analisar o comportamento da função quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo y ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é .
Para encontrar os interceptos com o eixo x, resolvemos :
Fatorando:
Assim, ou . Portanto, os interceptos com o eixo x são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos para identificar possíveis máximos e mínimos. Para isso, calculamos a derivada da função:
Igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Então, ou .
Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, verificamos a segunda derivada:
  • Para : (negativo, então temos um máximo em )
  • Para : (positivo, então temos um mínimo em )
Calculando as coordenadas desses pontos:
  • : Ponto:
  • : Ponto:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para indo para e :
  • Quando , porque o termo dominante é positivo.
  • Quando , porque o termo dominante é negativo.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Intercepto no ponto .
  2. Outro intercepto no ponto .
  3. Ponto de máximo em .
  4. Ponto de mínimo em .
  5. A função sobe para e desce para conforme o valor de aumenta ou diminui.

Resposta

O esboço do gráfico de possui interceptos em e , um ponto de máximo em , um ponto de mínimo em , e a função tende a quando e a quando . O gráfico é uma curva contínua que reflete esses pontos e comportamentos.

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