Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender como os gráficos de funções polinomiais se comportam. Para resolver isso, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptações com os eixos, pontos de máximo e mínimo, e analisar o comportamento da função quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo y ocorre quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Para encontrar os interceptos com o eixo x, resolvemos
:
Fatorando:
Assim,
ou
. Portanto, os interceptos com o eixo x são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos para identificar possíveis máximos e mínimos. Para isso, calculamos a derivada da função:
Igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Então,
ou
.
Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, verificamos a segunda derivada:
- Para
: (negativo, então temos um máximo em ) - Para
: (positivo, então temos um mínimo em )
Calculando as coordenadas desses pontos:
-
: Ponto: -
: Ponto:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para
indo para
e
:
- Quando
, porque o termo dominante é positivo. - Quando
, porque o termo dominante é negativo.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepto no ponto
. - Outro intercepto no ponto
. - Ponto de máximo em
. - Ponto de mínimo em
. - A função sobe para
e desce para conforme o valor de aumenta ou diminui.
Resposta
O esboço do gráfico de
possui interceptos em
e
, um ponto de máximo em
, um ponto de mínimo em
, e a função tende a
quando
e a
quando
. O gráfico é uma curva contínua que reflete esses pontos e comportamentos.
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