Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . A gente vai precisar usar conceitos de análise de funções, como encontrar interceptos, assíntotas, e comportamento da função em diferentes intervalos. Vamos passo a passo para entender melhor como montar esse gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero.
Então, vamos resolver:
Isso significa que e . Portanto, o domínio é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando .
Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo é .
Para encontrar os interceptos com o eixo , resolvemos :
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, . Então, . Portanto, o intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, desde que o numerador não anule exatamente esses pontos.
Resolvendo , encontramos e . Então, temos assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Observamos o comportamento da função quando tende a .
O grau do polinômio no numerador é 2 e no denominador é 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas verticais e à assíntota horizontal para entender melhor como o gráfico se comporta.
  • Próximo a :
    • Quando se aproxima de 1 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, e o numerador é positivo. Então, tende a .
    • Quando se aproxima de 1 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, e o numerador é positivo. Então, tende a .
  • Próximo a :
    • Como o fator está ao quadrado no denominador, o sinal do denominador não muda quando passa por -2. Assim, a função tende a de ambos os lados.

Passo 7

Por fim, plotamos todos esses pontos e comportamentos no gráfico:
  • Pontos conhecidos: e .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntota horizontal: .
Com base nessas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico, mostrando como a função se comporta perto dessas linhas e passamos por esses pontos.

Resposta

O gráfico da função possui interceptos em e , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . O comportamento da função próximo às assíntotas indica que ela tende a quando se aproxima de 1 pela esquerda, a quando se aproxima de 1 pela direita, e a em ambos os lados de . Com essas informações, podemos esboçar o gráfico, representando esses pontos e comportamentos.

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