Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. A gente vai precisar usar conceitos de análise de funções, como encontrar interceptos, assíntotas, e comportamento da função em diferentes intervalos. Vamos passo a passo para entender melhor como montar esse gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero.
Então, vamos resolver:
Isso significa que
e
. Portanto, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
.
Substituindo
na função:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Para encontrar os interceptos com o eixo
, resolvemos
:
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja,
. Então,
. Portanto, o intercepto com o eixo
é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, desde que o numerador não anule exatamente esses pontos.
Resolvendo
, encontramos
e
. Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Observamos o comportamento da função quando
tende a
.
O grau do polinômio no numerador é 2 e no denominador é 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
.
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas verticais e à assíntota horizontal para entender melhor como o gráfico se comporta.
-
Próximo a
: - Quando
se aproxima de 1 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, e o numerador é positivo. Então, tende a . - Quando
se aproxima de 1 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, e o numerador é positivo. Então, tende a .
- Quando
-
Próximo a
: - Como o fator
está ao quadrado no denominador, o sinal do denominador não muda quando passa por -2. Assim, a função tende a de ambos os lados.
- Como o fator
Passo 7
Por fim, plotamos todos esses pontos e comportamentos no gráfico:
- Pontos conhecidos:
e . - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
.
Com base nessas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico, mostrando como a função se comporta perto dessas linhas e passamos por esses pontos.
Resposta
O gráfico da função
possui interceptos em
e
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. O comportamento da função próximo às assíntotas indica que ela tende a
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, a
quando se aproxima de 1 pela direita, e a
em ambos os lados de
. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico, representando esses pontos e comportamentos.
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