Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para esboçar o gráfico da função
. Vamos abordar isso usando conceitos de cálculo e análise de funções. Precisaremos analisar o domínio da função, interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos o logaritmo natural
, sabemos que
precisa ser maior que zero. Assim, o domínio é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
-
Interseção com o eixo y: Para encontrar quando
, mas como o domínio é , não há interseção com o eixo y. -
Interseção com o eixo x: Ocorre quando
. Então: Isso acontece quandoou . Resolvendo: Novamente,não está no domínio, então a única raiz é . Resolvendo: Portanto, a função intercepta o eixo x em.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas para estudar o comportamento da função e encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Como
, a solução
não é válida. Então, precisamos resolver:
Esta equação não tem solução analítica fácil, então podemos usar métodos numéricos ou gráfico para aproximar os valores de
onde isso ocorre.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento assintótico da função.
Para
tendendo a
:
-
tende a -
tende a
Então,tende a
Para
tendendo a
:
-
tende a -
tende a
Então,tende a , que também tende a
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é
- Passa pelo ponto
- Para
próximo de 0, tende a - Para
grande, tende a - Há pontos críticos onde a derivada é zero, indicando possíveis máximos ou mínimos locais
Resposta
O gráfico de
possui domínio para
, intercepta o eixo x em
, tende a
conforme
se aproxima de 0 e para valores grandes de
. Apresenta pontos críticos que indicam máximos e mínimos locais, cujo posicionamento pode ser determinado numericamente.
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.
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