Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para esboçar o gráfico da função . Vamos abordar isso usando conceitos de cálculo e análise de funções. Precisaremos analisar o domínio da função, interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos o logaritmo natural , sabemos que precisa ser maior que zero. Assim, o domínio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: Para encontrar quando , mas como o domínio é , não há interseção com o eixo y.
  • Interseção com o eixo x: Ocorre quando . Então:
    Isso acontece quando ou .
    Resolvendo :
    Novamente, não está no domínio, então a única raiz é .
    Resolvendo :
    Portanto, a função intercepta o eixo x em .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas para estudar o comportamento da função e encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Como , a solução não é válida. Então, precisamos resolver:
Esta equação não tem solução analítica fácil, então podemos usar métodos numéricos ou gráfico para aproximar os valores de onde isso ocorre.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento assintótico da função.
Para tendendo a :
  • tende a
  • tende a
    Então, tende a
Para tendendo a :
  • tende a
  • tende a
    Então, tende a , que também tende a

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O domínio é
  • Passa pelo ponto
  • Para próximo de 0, tende a
  • Para grande, tende a
  • Há pontos críticos onde a derivada é zero, indicando possíveis máximos ou mínimos locais

Resposta

O gráfico de possui domínio para , intercepta o eixo x em , tende a conforme se aproxima de 0 e para valores grandes de . Apresenta pontos críticos que indicam máximos e mínimos locais, cujo posicionamento pode ser determinado numericamente.

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