Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, como encontrar interceptos, derivadas para identificar máximos e mínimos, e analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde o gráfico corta os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : Para achar onde a função corta o eixo , basta substituir na função:
    Então, o intercepto com o eixo é no ponto .
  • Interceptos com o eixo : Para achar onde a função corta o eixo , igualamos :
    Fatorando:
    Isso nos dá com multiplicidade 2. A equação quadrática não possui raízes reais (discriminante negativo), então o único intercepto com o eixo é em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), que nos ajudam a descobrir os máximos e mínimos locais.
A derivada de em relação a é:
Vamos resolver :
Então, ou resolvemos a equação . Essa equação quadrática também não possui raízes reais (discriminante negativo), então o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e ao negativo infinito para entender como o gráfico se comporta nas extremidades.
A função é do quarto grau com coeficiente líder negativo ( ), então:
  • Quando tende a , tende a .
  • Quando tende a , também tende a .
Isso significa que o gráfico desce para baixo em ambas as extremidades.

Passo 5

Vamos esboçar pontos adicionais para ter uma melhor ideia da forma do gráfico. Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Resposta

Com base nos cálculos, o gráfico da função passa pelo ponto de origem , desce para e , e continua descendo para e . Além disso, nas extremidades, o gráfico tende para . Portanto, o esboço será uma curva que passa por esses pontos, com a forma geral de uma parábola invertida do quarto grau, simétrica em torno do ponto .

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