Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, como encontrar interceptos, derivadas para identificar máximos e mínimos, e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde o gráfico corta os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: Para achar onde a função corta o eixo , basta substituir na função: Então, o intercepto com o eixoé no ponto . -
Interceptos com o eixo
: Para achar onde a função corta o eixo , igualamos : Fatorando:Isso nos dácom multiplicidade 2. A equação quadrática não possui raízes reais (discriminante negativo), então o único intercepto com o eixo é em .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), que nos ajudam a descobrir os máximos e mínimos locais.
A derivada de
em relação a
é:
Vamos resolver
:
Então,
ou resolvemos a equação
. Essa equação quadrática também não possui raízes reais (discriminante negativo), então o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e ao negativo infinito para entender como o gráfico se comporta nas extremidades.
A função é do quarto grau com coeficiente líder negativo (
), então:
- Quando
tende a , tende a . - Quando
tende a , também tende a .
Isso significa que o gráfico desce para baixo em ambas as extremidades.
Passo 5
Vamos esboçar pontos adicionais para ter uma melhor ideia da forma do gráfico. Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Resposta
Com base nos cálculos, o gráfico da função
passa pelo ponto de origem
, desce para
e
, e continua descendo para
e
. Além disso, nas extremidades, o gráfico tende para
. Portanto, o esboço será uma curva que passa por esses pontos, com a forma geral de uma parábola invertida do quarto grau, simétrica em torno do ponto
.
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