Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de funções exponenciais e funções racionais no Cálculo. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função, identificar pontos importantes como interceptos, máximos e mínimos, e entender como ela se comporta quando
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde a função cruza os eixos
e
.
Passo 3
Para encontrar o intercepto no eixo
, avaliamos a função quando
:
Então, a função passa pela origem
.
Passo 4
Agora, para encontrar os interceptos no eixo
, resolvemos
:
Isso acontece quando o numerador é zero, ou seja, quando
. Portanto, o único intercepto é na origem.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta quando
aumenta ou diminui. Note que
cresce muito mais rápido que
, então à medida que
aumenta, o denominador se torna muito maior que o numerador, fazendo com que
tenda a zero.
Passo 6
Para encontrar eventuais máximos ou mínimos, precisamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero. Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso dá soluções
e
.
Passo 7
Vamos analisar esses pontos:
- Em
, já sabemos que . - Em
e :
Então, temos máximos locais em
com
.
Passo 8
Por fim, vamos resumir o comportamento da função:
- Passa pela origem
. - Tem máximos locais em
com . - Quando
tende ao infinito, tende a zero.
Resposta
O gráfico de
passa pela origem, possui máximos locais em
com
e tende a zero quando
aumenta. A curva apresenta simetria em relação ao eixo
, formando duas “campanas” que se aproximam do eixo conforme
se afasta do zero.