Esboce os gráficos de: y = x^2 / e^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de funções exponenciais e funções racionais no Cálculo. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função, identificar pontos importantes como interceptos, máximos e mínimos, e entender como ela se comporta quando varia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde a função cruza os eixos e .

Passo 3

Para encontrar o intercepto no eixo , avaliamos a função quando :
Então, a função passa pela origem .

Passo 4

Agora, para encontrar os interceptos no eixo , resolvemos :
Isso acontece quando o numerador é zero, ou seja, quando . Portanto, o único intercepto é na origem.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta quando aumenta ou diminui. Note que cresce muito mais rápido que , então à medida que aumenta, o denominador se torna muito maior que o numerador, fazendo com que tenda a zero.

Passo 6

Para encontrar eventuais máximos ou mínimos, precisamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero. Vamos derivar em relação a :
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso dá soluções e .

Passo 7

Vamos analisar esses pontos:
  • Em , já sabemos que .
  • Em e :
Então, temos máximos locais em com .

Passo 8

Por fim, vamos resumir o comportamento da função:
  • Passa pela origem .
  • Tem máximos locais em com .
  • Quando tende ao infinito, tende a zero.

Resposta

O gráfico de passa pela origem, possui máximos locais em com e tende a zero quando aumenta. A curva apresenta simetria em relação ao eixo , formando duas “campanas” que se aproximam do eixo conforme se afasta do zero.

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