Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Esse problema está relacionado com o estudo de funções, mais especificamente funções racionais e lineares. Para resolver, vamos precisar analisar o domínio da função, suas assíntotas, interceptos, e o comportamento geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de , vemos que a fração não está definida quando . Então, o domínio é todos os números reais exceto :
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo : ocorre quando , mas como não está no domínio, não há interceptação com o eixo .
Interceptações com o eixo : ocorre quando .
Multiplicando ambos os lados por (e lembrando que ):
Como não há solução real para , a função não intercepta o eixo .
Passo 4
Vamos determinar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais: que ocorrem onde a função não está definida, ou seja, em .
Assíntotas horizontais: analisando o comportamento de quando tende para ou , vemos que:
Então, não há assíntotas horizontais.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
Para :
Quando aumenta, domina , então cresce positivamente.
Quando se aproxima de 0, cresce positivamente, fazendo tender para .
Para :
Quando diminui (ficando mais negativo), domina , então tende para .
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, tende para , fazendo tender para .
Passo 6
Vamos calcular a derivada para entender melhor o comportamento da função e encontrar possíveis extremos.
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Agora, vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos:
Para :
É um ponto de mínimo local.
Para :
É um ponto de máximo local.
Resposta
O gráfico da função possui duas partes separadas por uma assíntota vertical em . Para , a função tem um ponto de mínimo em e tende para tanto quando se aproxima de 0 quanto para . Para , há um ponto de máximo em e a função tende para quando se aproxima de 0 e para quando tende a . Não há interceptações com os eixos e , e a única assíntota é a vertical em .