Esboce os gráficos de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Esse problema está relacionado com o estudo de funções, mais especificamente funções racionais e lineares. Para resolver, vamos precisar analisar o domínio da função, suas assíntotas, interceptos, e o comportamento geral dela.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de , vemos que a fração não está definida quando . Então, o domínio é todos os números reais exceto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo : ocorre quando , mas como não está no domínio, não há interceptação com o eixo .
  • Interceptações com o eixo : ocorre quando .
Multiplicando ambos os lados por (e lembrando que ):
Como não há solução real para , a função não intercepta o eixo .

Passo 4

Vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntotas verticais: que ocorrem onde a função não está definida, ou seja, em .
  • Assíntotas horizontais: analisando o comportamento de quando tende para ou , vemos que:
Então, não há assíntotas horizontais.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Para :
    • Quando aumenta, domina , então cresce positivamente.
    • Quando se aproxima de 0, cresce positivamente, fazendo tender para .
  • Para :
    • Quando diminui (ficando mais negativo), domina , então tende para .
    • Quando se aproxima de 0 pela esquerda, tende para , fazendo tender para .

Passo 6

Vamos calcular a derivada para entender melhor o comportamento da função e encontrar possíveis extremos.
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Agora, vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos:
  • Para :
    É um ponto de mínimo local.
  • Para :
    É um ponto de máximo local.

Resposta

O gráfico da função possui duas partes separadas por uma assíntota vertical em . Para , a função tem um ponto de mínimo em e tende para tanto quando se aproxima de 0 quanto para . Para , há um ponto de máximo em e a função tende para quando se aproxima de 0 e para quando tende a . Não há interceptações com os eixos e , e a única assíntota é a vertical em .

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos de:
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.