Esboce os gráficos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Esse problema está relacionado com o estudo de funções, mais especificamente funções racionais e lineares. Para resolver, vamos precisar analisar o domínio da função, suas assíntotas, interceptos, e o comportamento geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de
, vemos que a fração
não está definida quando
. Então, o domínio é todos os números reais exceto
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
-
Interceptação com o eixo
: ocorre quando , mas como não está no domínio, não há interceptação com o eixo . -
Interceptações com o eixo
: ocorre quando .
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
):
Como não há solução real para
, a função não intercepta o eixo
.
Passo 4
Vamos determinar as assíntotas da função.
-
Assíntotas verticais: que ocorrem onde a função não está definida, ou seja, em
. -
Assíntotas horizontais: analisando o comportamento de
quando tende para ou , vemos que:
Então, não há assíntotas horizontais.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
-
Para
: - Quando
aumenta, domina , então cresce positivamente. - Quando
se aproxima de 0, cresce positivamente, fazendo tender para .
- Quando
-
Para
: - Quando
diminui (ficando mais negativo), domina , então tende para . - Quando
se aproxima de 0 pela esquerda, tende para , fazendo tender para .
- Quando
Passo 6
Vamos calcular a derivada para entender melhor o comportamento da função e encontrar possíveis extremos.
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Agora, vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos:
-
Para
: É um ponto de mínimo local. -
Para
: É um ponto de máximo local.
Resposta
O gráfico da função
possui duas partes separadas por uma assíntota vertical em
. Para
, a função tem um ponto de mínimo em
e tende para
tanto quando
se aproxima de 0 quanto para
. Para
, há um ponto de máximo em
e a função tende para
quando
se aproxima de 0 e para
quando
tende a
. Não há interceptações com os eixos
e
, e a única assíntota é a vertical em
.