Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função sem marcar pontos. Para isso, vamos começar com o gráfico da função básica e aplicar algumas transformações. Vamos precisar entender como a função tangente se comporta e como as transformações afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o gráfico básico da função . A tangente tem um período de e possui assíntotas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde o cosseno é zero. Essas assíntotas ocorrem em , onde é qualquer inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, o “2” multiplicando o dentro da função afeta o período da função. A regra geral é que, se temos , o período da função será .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função , temos . Então, o novo período será:
í
Isso significa que o gráfico da função completa um ciclo completo em metade do período da função básica .

Passo 5

Além disso, as assíntotas verticais também são afetadas pela transformação. As novas assíntotas ocorrerão onde o argumento da tangente é . Neste caso, temos:
Então, as assíntotas verticais da função estão em .

Passo 6

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe as assíntotas verticais em .
  2. Marque o período de .
  3. Desenhe o gráfico da tangente entre duas assíntotas consecutivas, lembrando que a tangente passa pela origem e tende ao infinito positivo e negativo próximo das assíntotas.

Passo 7

Resumindo, aplicamos uma compressão horizontal na função devido ao fator 2, reduzindo o período para e ajustando as assíntotas verticais de acordo.

Resposta

O gráfico da função tem um período de e assíntotas verticais em , onde é qualquer inteiro. Ao desenhá-lo, observe a compressão horizontal em relação ao gráfico básico da tangente.

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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
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