Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função
sem marcar pontos. Para isso, vamos começar com o gráfico da função básica
e aplicar algumas transformações. Vamos precisar entender como a função tangente se comporta e como as transformações afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o gráfico básico da função
. A tangente tem um período de
e possui assíntotas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde o cosseno é zero. Essas assíntotas ocorrem em
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, o “2” multiplicando o
dentro da função afeta o período da função. A regra geral é que, se temos
, o período da função será
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função
, temos
. Então, o novo período será:
Isso significa que o gráfico da função
completa um ciclo completo em metade do período da função básica
.
Passo 5
Além disso, as assíntotas verticais também são afetadas pela transformação. As novas assíntotas ocorrerão onde o argumento da tangente é
. Neste caso, temos:
Então, as assíntotas verticais da função
estão em
.
Passo 6
Para desenhar o gráfico:
- Desenhe as assíntotas verticais em
. - Marque o período de
. - Desenhe o gráfico da tangente entre duas assíntotas consecutivas, lembrando que a tangente passa pela origem e tende ao infinito positivo e negativo próximo das assíntotas.
Passo 7
Resumindo, aplicamos uma compressão horizontal na função
devido ao fator 2, reduzindo o período para
e ajustando as assíntotas verticais de acordo.
Resposta
O gráfico da função
tem um período de
e assíntotas verticais em
, onde
é qualquer inteiro. Ao desenhá-lo, observe a compressão horizontal em relação ao gráfico básico da tangente.
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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
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