Reescreva a equação da elipse
na forma reduzida, encontre seus focos e esboce-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! O que a gente precisa fazer é reescrever a equação
na forma reduzida da elipse. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que nos ajuda a identificar os parâmetros principais da elipse, como o centro e os eixos principais. Além disso, vamos encontrar os focos e fazer um esboço da elipse no final.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Olha só:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro da equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para os termos de
. Primeiro fatoramos o coeficiente de
, que é 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Pegamos o coeficiente de
, que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos
:
Isso simplifica para:
Multiplicando pelo 4, temos:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na equação original com os termos completados:
Vamos simplificar os números:
Adicionando 10 em ambos os lados:
Passo 6
Para chegar na forma reduzida da elipse, dividimos todos os termos por 4:
Essa é a forma reduzida da elipse, que nos mostra que o centro está em
, o eixo maior está ao longo do eixo
com comprimento
, e o eixo menor está ao longo do eixo
com comprimento
.
Passo 7
Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
. Aqui,
e
:
Os focos estarão afastados do centro ao longo do eixo maior (eixo
):
Passo 8
Por fim, vamos esboçar a elipse:
- Centro:
- Eixo maior: comprimento 4, direcionado ao longo do eixo
- Eixo menor: comprimento 2, direcionado ao longo do eixo
- Focos:
e
O esboço mostrará uma elipse centralizada em
, mais alongada horizontalmente devido ao maior comprimento do eixo
.
Resposta
A forma reduzida da elipse é
Os focos da elipse são
e
. O esboço da elipse apresenta-se com centro em
, eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo
e eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo
.