Reescreva a equação da elipse x^2+4 y^2+2 x-12 y+6=0 na forma reduzida, encontre seus focos e esboce-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! O que a gente precisa fazer é reescrever a equação na forma reduzida da elipse. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que nos ajuda a identificar os parâmetros principais da elipse, como o centro e os eixos principais. Além disso, vamos encontrar os focos e fazer um esboço da elipse no final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 12y = -6 e . Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 2x . Olha só:
(22)^2 = 1
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (x^2 + 2x + 1) - 1 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 1)^2 - 1
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro da equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os termos de 4(y^2 - 3y) . Primeiro fatoramos o coeficiente de y^2 - 3y , que é 4:
(-32)^2 = 94
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
(y^2 - 3y + 94) - 94
Pegamos o coeficiente de (y - 32)^2 - 94 , que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
4(y - 32)^2 - 9
Então, adicionamos e subtraímos :
Isso simplifica para:
Multiplicando pelo 4, temos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação original com os termos completados:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 32)^2 - 9 = -6
Vamos simplificar os números:
(x + 1)^2 + 4(y - 32)^2 - 10 = -6
Adicionando 10 em ambos os lados:
(x + 1)^2 + 4(y - 32)^2 = 4

Passo 6

Para chegar na forma reduzida da elipse, dividimos todos os termos por 4:
(x + 1)^24 + (y - 32)^21 = 1
Essa é a forma reduzida da elipse, que nos mostra que o centro está em , o eixo maior está ao longo do eixo com comprimento , e o eixo menor está ao longo do eixo com comprimento .

Passo 7

Para encontrar os focos, precisamos calcular c = raiz2^2 - 1^2 = raiz4 - 1 = raiz3 , onde Foco 1: (-1 + raiz3, 32) . Aqui, Foco 2: (-1 - raiz3, 32) e :
Os focos estarão afastados do centro ao longo do eixo maior (eixo ):

Passo 8

Por fim, vamos esboçar a elipse:
  1. Centro:
  2. Eixo maior: comprimento 4, direcionado ao longo do eixo
  3. Eixo menor: comprimento 2, direcionado ao longo do eixo
  4. Focos: e
O esboço mostrará uma elipse centralizada em , mais alongada horizontalmente devido ao maior comprimento do eixo .

Resposta

A forma reduzida da elipse é
(x + 1)^24 + (y - 32)^21 = 1
Os focos da elipse são e . O esboço da elipse apresenta-se com centro em , eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo e eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo .

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