Seja V um espaço vetorial de dimensão finita igual a n, e considere uma transformação linear T: V V tal que Im(T)=N u(T). Dê um exemplo de uma transformação linear com estas características.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial de dimensão finita e uma transformação linear que satisfaz ú. Aqui, é a imagem de e ú é o núcleo (ou espaço nulo) de . Para resolver isso, precisamos entender o que são imagem e núcleo de uma transformação linear e encontrar uma transformação que tenha essas duas propriedades iguais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos. Uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. O núcleo de , ú, é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero, ou seja, . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum em .

Passo 3

Sabemos pelo Teorema do Núcleo e Imagem que, em um espaço vetorial de dimensão finita dim(Nú(T)) + dim(Im(T)) = n , a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual a k + k = n implies 2k = n implies k = n2 :
ú
No nosso caso, queremos que ú. Isso significa que as dimensões desses dois espaços devem ser iguais. Vamos chamar essa dimensão comum de . Então temos:
Isso implica que deve ser par para que seja um número inteiro, mas o enunciado não especifica isso, então vamos considerar um exemplo simples onde isso se aplica.

Passo 4

Vamos escolher A = 0 & 1 0 & 0 para facilitar, onde . Precisamos definir uma transformação linear tal que ú.
Uma forma simples de fazer isso é pensar em uma matriz que tenha a imagem e o núcleo sendo a mesma linha. Por exemplo, considere a matriz:
Essa matriz representa a transformação linear que mapeia qualquer vetor para .

Passo 5

Vamos verificar se ú:
  • Imagem de : É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , ou seja, todos os vetores no eixo .
  • Núcleo de : É o conjunto de todos os vetores tais que . Isso ocorre quando , ou seja, todos os vetores no eixo .
Portanto, ú, ambos sendo o eixo .

Resposta

Um exemplo de transformação linear que satisfaz A = 0 & 1 0 & 0 ú é dado pela matriz
que mapeia qualquer vetor em para .

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