Seja
um espaço vetorial de dimensão finita igual a
, e considere uma transformação linear
tal que
. Dê um exemplo de uma transformação linear com estas características.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial
de dimensão finita
e uma transformação linear
que satisfaz
. Aqui,
é a imagem de
e
é o núcleo (ou espaço nulo) de
. Para resolver isso, precisamos entender o que são imagem e núcleo de uma transformação linear e encontrar uma transformação que tenha essas duas propriedades iguais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos. Uma transformação linear
é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero, ou seja,
. Já a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como
para algum
em
.
Passo 3
Sabemos pelo Teorema do Núcleo e Imagem que, em um espaço vetorial de dimensão finita
, a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual a
:
No nosso caso, queremos que
. Isso significa que as dimensões desses dois espaços devem ser iguais. Vamos chamar essa dimensão comum de
. Então temos:
Isso implica que
deve ser par para que
seja um número inteiro, mas o enunciado não especifica isso, então vamos considerar um exemplo simples onde isso se aplica.
Passo 4
Vamos escolher
para facilitar, onde
. Precisamos definir uma transformação linear
tal que
.
Uma forma simples de fazer isso é pensar em uma matriz que tenha a imagem e o núcleo sendo a mesma linha. Por exemplo, considere a matriz:
Essa matriz representa a transformação linear
que mapeia qualquer vetor
para
.
Passo 5
Vamos verificar se
:
-
Imagem de
: É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , ou seja, todos os vetores no eixo . -
Núcleo de
: É o conjunto de todos os vetores tais que . Isso ocorre quando , ou seja, todos os vetores no eixo .
Portanto,
, ambos sendo o eixo
.
Resposta
Um exemplo de transformação linear que satisfaz
é dado pela matriz
que mapeia qualquer vetor
em
para
.