Prove que R^3 é isomorfo ao subespaço vetorial S de R^2 times 2 dado por
S=A in R^2 times 2 lvert, A=[cc a & b 0 & c ], a, b, c in R
exibindo um isomorfismo T: R^3 S. Mostre que a transformação linear T exibida é, de fato, um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o espaço vetorial R^3 é isomorfo a um subespaço S de matrizes 2 times 2 definidas por:
S=A in R^2 times 2 lvert, A=[cc a & b 0 & c ], a, b, c in R
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais, transformações lineares e isomorfismos. Vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como construir uma transformação linear que seja bijetora (injeção e sobrejeção).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois espaços serem isomorfos. Basicamente, isso quer dizer que eles têm a mesma “estrutura” em termos de espaço vetorial. Para isso, precisamos encontrar uma transformação linear T: R^3 S que seja injetora (cada elemento de R^3 mapeia para um único elemento em S) e sobrejetora (todo elemento de S é imagem de algum elemento em R^3).

Passo 3

Vamos definir a transformação linear T. Queremos que cada vetor em R^3, digamos (a, b, c), seja mapeado para uma matriz em S da forma:
T(a, b, c) = [cc a & b 0 & c ]
Essa definição faz sentido porque qualquer matriz em S tem exatamente essa forma, com três parâmetros livres: a, b e c.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se T é de fato uma transformação linear. Para isso, devemos checar duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer u, v in R^3.
  2. Homogeneidade: T(ku) = kT(u) para qualquer escalar k e vetor u in R^3.
Vamos verificar:
  • Aditividade:
    Seja u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2). Então,
    T(u + v) = T(a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2) = [cc a1 + a2 & b1 + b2 0 & c1 + c2 ]
    E,
    T(u) + T(v) = [cc a1 & b1 0 & c1 ] + [cc a2 & b2 0 & c2 ] = [cc a1 + a2 & b1 + b2 0 & c1 + c2 ]
    Assim, T(u + v) = T(u) + T(v).
  • Homogeneidade:
    Seja k um escalar e u = (a, b, c). Então,
    T(ku) = T(ka, kb, kc) = [cc ka & kb 0 & kc ]
    E,
    kT(u) = k [cc a & b 0 & c ] = [cc ka & kb 0 & kc ]
    Portanto, T(ku) = kT(u).

Passo 5

Agora que confirmamos que T é linear, vamos provar que ele é injetor e sobrejetor, ou seja, que T é uma bijeção.
  • Injetividade: Queremos mostrar que se T(a, b, c) = T(a', b', c'), então (a, b, c) = (a', b', c').
    Se,
    [cc a & b 0 & c ] = [cc a' & b' 0 & c' ]
    Então, necessariamente a = a', b = b' e c = c'. Logo, T é injetor.
  • Sobrejetividade: Queremos mostrar que para toda matriz A in S, existe um vetor (a, b, c) in R^3 tal que T(a, b, c) = A.
    Como A tem a forma [cc a & b 0 & c ], basta escolher (a, b, c) correspondente. Assim, todo elemento de S é imagem de algum vetor em R^3, então T é sobrejetor.

Resposta

Portanto, a transformação linear T: R^3 S definida por
T(a, b, c) = [cc a & b 0 & c ]
é um isomorfismo. Isso significa que R^3 é isomorfo ao subespaço vetorial S de R^2 times 2.

Exercícios relacionados