Prove que é isomorfo ao subespaço vetorial de dado por
exibindo um isomorfismo T: R^3 S. Mostre que a transformação linear T exibida é, de fato, um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o espaço vetorial R^3 é isomorfo a um subespaço S de matrizes 2 times 2 definidas por:
S=A in R^2 times 2 lvert, A=[cc a & b 0 & c ], a, b, c in R
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais, transformações lineares e isomorfismos. Vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como construir uma transformação linear que seja bijetora (injeção e sobrejeção).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois espaços serem isomorfos. Basicamente, isso quer dizer que eles têm a mesma “estrutura” em termos de espaço vetorial. Para isso, precisamos encontrar uma transformação linear T: R^3 S que seja injetora (cada elemento de R^3 mapeia para um único elemento em S) e sobrejetora (todo elemento de S é imagem de algum elemento em R^3).
Passo 3
Vamos definir a transformação linear T. Queremos que cada vetor em R^3, digamos (a, b, c), seja mapeado para uma matriz em S da forma:
T(a, b, c) = [cc a & b 0 & c ]
Essa definição faz sentido porque qualquer matriz em S tem exatamente essa forma, com três parâmetros livres: a, b e c.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se T é de fato uma transformação linear. Para isso, devemos checar duas propriedades:
Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer u, v in R^3.
Homogeneidade: T(ku) = kT(u) para qualquer escalar k e vetor u in R^3.
kT(u) = k [cc a & b 0 & c ] = [cc ka & kb 0 & kc ]
Portanto, T(ku) = kT(u).
Passo 5
Agora que confirmamos que T é linear, vamos provar que ele é injetor e sobrejetor, ou seja, que T é uma bijeção.
Injetividade: Queremos mostrar que se T(a, b, c) = T(a', b', c'), então (a, b, c) = (a', b', c').
Se,
[cc a & b 0 & c ] = [cc a' & b' 0 & c' ]
Então, necessariamente a = a', b = b' e c = c'. Logo, T é injetor.
Sobrejetividade: Queremos mostrar que para toda matriz A in S, existe um vetor (a, b, c) in R^3 tal que T(a, b, c) = A.
Como A tem a forma [cc a & b 0 & c ], basta escolher (a, b, c) correspondente. Assim, todo elemento de S é imagem de algum vetor em R^3, então T é sobrejetor.
Resposta
Portanto, a transformação linear T: R^3 S definida por
T(a, b, c) = [cc a & b 0 & c ]
é um isomorfismo. Isso significa que R^3 é isomorfo ao subespaço vetorial S de R^2 times 2.