Prove que cada uma das transformações lineares T: R^3 R^3 abaixo é um isomorfismo, e encontre os respectivos isomorfismos inversos: T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar o inverso dessa transformação.
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, isomorfismos e matrizes inversas.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um isomorfismo.
  • Verificar se a transformação é linear e bijetora (injetora e sobrejetora).
  • Encontrar a matriz associada à transformação e calcular sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Um isomorfismo entre espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (cada elemento de tem no máximo uma imagem) e sobrejetora (cada elemento de é imagem de pelo menos um elemento).

Passo 3

Vamos representar a transformação A = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1 como uma matriz. Para isso, identificamos como atua nos vetores.
Isso pode ser representado pela matriz:

Passo 4

Para verificar se det(A) = 1 cdot -1 & 0 1 & -1 - 0 cdot 1 & 0 2 & -1 + 0 cdot 1 & -1 2 & 1 é um isomorfismo, precisamos checar se a matriz -1 & 0 1 & -1 = (-1)(-1) - (0)(1) = 1 é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot 1 - 0 + 0 = 1 neq 0 :
Calculando o menor:
Portanto:
Como o determinante é diferente de zero, é invertível, e, portanto, é um isomorfismo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , que nos permitirá determinar o isomorfismo inverso Cof(A) = -1 & 0 1 & -1 & - 1 & 0 2 & -1 & 1 & -1 2 & 1 - 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 2 & -1 & - 1 & -1 2 & 1 0 & 0 -1 & 0 & - 1 & 0 -1 & 0 & 1 & -1 -1 & 1 .
Usamos a fórmula da inversa de uma matriz -1 & 0 1 & -1 = 1 :
1 & 0 2 & -1 = (1)(-1) - (0)(2) = -1
Já que 1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3 , 0 & 0 1 & -1 = 0 .
Vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Calculando os cofatores de 1 & -1 -1 & 1 = (1)(1) - (-1)(-1) = 1 - 1 = 0 :
Cof(A) = 1 & -(-1) & 3 -0 & -1 & -3 0 & -1 & 0 = 1 & 1 & 3 0 & -1 & -3 0 & -1 & 0
Calculando cada determinante:
adj(A) = 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 3 & -3 & 0
A^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 3 & -3 & 0
Substituindo:
Agora, a adjunta é a transposta dos cofatores:
Portanto, a matriz inversa é:

Passo 6

Agora que temos a matriz inversa T^-1(a, b, c) = A^-1 a b c = 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 3 & -3 & 0 a b c = ( a, a - b - c, 3a - 3b ) , podemos definir o isomorfismo inverso . A transformação inversa vai pegar um vetor em e multiplicar pela matriz :

Resposta

A transformação linear T^-1(a, b, c) = ( a, a - b - c, 3a - 3b ) é um isomorfismo. O isomorfismo inverso é dado por:

Exercícios relacionados