Prove que cada uma das transformações lineares abaixo é um isomorfismo, e encontre os respectivos isomorfismos inversos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar o inverso dessa transformação.
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, isomorfismos e matrizes inversas.
O que vamos precisar:
Entender o que é um isomorfismo.
Verificar se a transformação é linear e bijetora (injetora e sobrejetora).
Encontrar a matriz associada à transformação e calcular sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Um isomorfismo entre espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (cada elemento de tem no máximo uma imagem) e sobrejetora (cada elemento de é imagem de pelo menos um elemento).
Passo 3
Vamos representar a transformação como uma matriz. Para isso, identificamos como atua nos vetores.
Isso pode ser representado pela matriz:
Passo 4
Para verificar se det(A) = 1 cdot -1 & 0 1 & -1 - 0 cdot 1 & 0 2 & -1 + 0 cdot 1 & -1 2 & 1 é um isomorfismo, precisamos checar se a matriz -1 & 0 1 & -1 = (-1)(-1) - (0)(1) = 1 é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot 1 - 0 + 0 = 1 neq 0 :
Calculando o menor:
Portanto:
Como o determinante é diferente de zero, é invertível, e, portanto, é um isomorfismo.
Agora que temos a matriz inversa T^-1(a, b, c) = A^-1 a b c = 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 3 & -3 & 0 a b c = ( a, a - b - c, 3a - 3b ) , podemos definir o isomorfismo inverso . A transformação inversa vai pegar um vetor em e multiplicar pela matriz :
Resposta
A transformação linear T^-1(a, b, c) = ( a, a - b - c, 3a - 3b ) é um isomorfismo. O isomorfismo inverso é dado por: