Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função , considerando a restrição . Basicamente, vamos otimizar (achar os pontos onde ela é maior ou menor) dentro dessa condição que nos deu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para otimizar uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto ótimo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 3

Vamos escrever a função de Lagrange:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , , e e igualá-las a zero:

Passo 5

Das três primeiras equações, vemos que:
Isso implica que . Como estamos lidando com números reais, isso significa que .

Passo 6

Sabemos que e . Então, podemos substituir:
Portanto, e .

Passo 7

Agora, vamos calcular nesse ponto:

Passo 8

Precisamos verificar se esse é um mínimo ou máximo. Observando que , e são funções convexas, o ponto encontrado é de mínimo.

Resposta

O valor mínimo de é , que ocorre no ponto . Não há valores máximos finitos para sob a restrição dada.

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Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Dar as soluções constantes das equações: