Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função
, considerando a restrição
. Basicamente, vamos otimizar
(achar os pontos onde ela é maior ou menor) dentro dessa condição que nos deu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para otimizar uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto ótimo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 3
Vamos escrever a função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero:
Passo 5
Das três primeiras equações, vemos que:
Isso implica que
. Como estamos lidando com números reais, isso significa que
.
Passo 6
Sabemos que
e
. Então, podemos substituir:
Portanto,
e
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
nesse ponto:
Passo 8
Precisamos verificar se esse é um mínimo ou máximo. Observando que
,
e
são funções convexas, o ponto encontrado é de mínimo.
Resposta
O valor mínimo de
é
, que ocorre no ponto
. Não há valores máximos finitos para
sob a restrição dada.
Exercícios relacionados
(2,o) Esboce a imagem da curva
. Determine a equaçāo paramétrica para a reta tangente a curva para
. Para finalizar, defina outra curva
onde
, mas que seus comprimentos sejam diferentes. Justifique suas respostas e interprete geometricamente.
Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Dar as soluções constantes das equações: