Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g.
.
g.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos estudar a concavidade dela, ou seja, identificar onde a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo”. Além disso, vamos ver se existem pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Então, vamos calcular a primeira derivada
e depois a segunda derivada
.
A primeira derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Sabemos que
é sempre positivo, então:
Passo 5
Como
é sempre negativo, isso significa que a função
é côncava para baixo em todo o seu domínio.
Passo 6
Agora, vamos verificar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Porém, como vimos que
é sempre negativo e nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão na função.
Resposta
A função
é côncava para baixo em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
c.
c.
(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a.
a.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .
c.
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d. .
d.