Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos estudar a concavidade dela, ou seja, identificar onde a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo”. Além disso, vamos ver se existem pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Então, vamos calcular a primeira derivada e depois a segunda derivada .
A primeira derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar o sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Sabemos que é sempre positivo, então:

Passo 5

Como é sempre negativo, isso significa que a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.

Passo 6

Agora, vamos verificar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Porém, como vimos que é sempre negativo e nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão na função.

Resposta

A função é côncava para baixo em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
c.
(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d. .