Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c.
.
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma função
e quer entender melhor ela. O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de funções, especificamente derivadas para encontrar os pontos críticos e entender o comportamento dessa função. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é crescente ou decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
A função dada é:
Para derivar, aplicamos a regra de potência, que diz que a derivada de
é
.
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Eles nos ajudam a identificar possíveis máximos e mínimos locais.
Vamos resolver a equação
:
Podemos fatorar:
Assim, temos:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, temos um máximo local em
.
- Para
:
Como
, temos um mínimo local em
.
- Para
:
Como
, temos um mínimo local em
.
Passo 5
Finalmente, vamos resumir o comportamento da função com base nas informações que encontramos:
- Máximo local em
- Mínimos locais em
e
Isso nos dá uma boa ideia de como a função
se comporta: ela tem um pico no ponto
e vales nos pontos
.
Resposta
A função
possui um máximo local em
e mínimos locais em
e
.
Exercícios relacionados
Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .
g.
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
c.
c.
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d. .
d.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .
c.