Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função e quer entender melhor ela. O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de funções, especificamente derivadas para encontrar os pontos críticos e entender o comportamento dessa função. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é crescente ou decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
A função dada é:
Para derivar, aplicamos a regra de potência, que diz que a derivada de é .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Eles nos ajudam a identificar possíveis máximos e mínimos locais.
Vamos resolver a equação :
Podemos fatorar:
Assim, temos:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , temos um máximo local em .
  1. Para :
Como , temos um mínimo local em .
  1. Para :
Como , temos um mínimo local em .

Passo 5

Finalmente, vamos resumir o comportamento da função com base nas informações que encontramos:
  • Máximo local em
  • Mínimos locais em e
Isso nos dá uma boa ideia de como a função se comporta: ela tem um pico no ponto e vales nos pontos .

Resposta

A função possui um máximo local em e mínimos locais em e .

Exercícios relacionados

Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .
Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
c.
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .