O período T de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é phi, é dado em termos da variável x=sen(phi / 2) como
T(x)=2 pi raizL / g(1+sumn=1^infty 1^2 cdot 3^2 cdot 5^2 cdots(2 n-1)^22^2 cdot 4^2 cdot 6^2 cdots(2 n)^2 x^2 n)
sendo L o comprimento do pêndulo e g a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é R=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o período de oscilação de um pêndulo e nos dá uma expressão em série para calcular esse período. O que precisamos descobrir aqui é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série que está dentro da expressão do período:
sumn=1^infty 1^2 cdot 3^2 cdot 5^2 cdots(2 n-1)^22^2 cdot 4^2 cdot 6^2 cdots(2 n)^2 x^2 n
Podemos simplificar essa expressão para facilitar a análise. Vamos focar no termo geral da série, que é:
an = 1^2 cdot 3^2 cdot 5^2 cdots(2 n-1)^22^2 cdot 4^2 cdot 6^2 cdots(2 n)^2 x^2 n

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge. A ideia é calcular o limite da razão entre e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão:
Simplificando, temos:
an+1an = 1^2 cdot 3^2 cdot ldots cdot (2(n+1)-1)^22^2 cdot 4^2 cdot ldots cdot 2(n+1)^2 x^2(n+1)1^2 cdot 3^2 cdot ldots cdot (2n-1)^22^2 cdot 4^2 cdot ldots cdot 2n^2 x^2n

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (2n+1)^2(2n+2)^2 x^2 = limn to infty (2n+12n+2)^2 x^2 = (2n2n)^2 x^2 = x^2 tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, a série converge se x^2 < 1 implies |x| < 1 :
Então, o raio de convergência é 1, já que a série converge para valores de cuja magnitude é menor que 1.

Resposta

O raio de convergência é .

Exercícios relacionados