O período de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é , é dado em termos da variável como
sendo o comprimento do pêndulo e a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o período de oscilação de um pêndulo e nos dá uma expressão em série para calcular esse período. O que precisamos descobrir aqui é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série que está dentro da expressão do período:
Podemos simplificar essa expressão para facilitar a análise. Vamos focar no termo geral da série, que é:
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A ideia é calcular o limite da razão entre e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular essa razão:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, a série converge se :
Então, o raio de convergência é 1, já que a série converge para valores de cuja magnitude é menor que 1.