Prove os itens abaixo. (a) Se S é o gráfico de z=f(x, y) e parametrizada por varphi(x, y)=(x, y, f(x, y)), com (x, y) in D, mostre que o vetor normal N=partial varphipartial x times partial varphipartial y=(-partial fpartial x,-partial fpartial y, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, se temos um gráfico definido por e ele é parametrizado por , então o vetor normal é igual a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com superfícies parametrizadas e vetores normais. Vamos precisar usar derivadas parciais e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Isso significa calcular e .

Passo 3

Calculando partial varphipartial x = ( partial xpartial x, partial ypartial x, partial f(x, y)partial x ) = (1, 0, fx) :
partial varphipartial y = ( partial xpartial y, partial ypartial y, partial f(x, y)partial y ) = (0, 1, fy)
E calculando :
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal N = partial varphipartial x times partial varphipartial y = (1, 0, fx) times (0, 1, fy) fazendo o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
N = ( (0 cdot fy - fx cdot 1), (fx cdot 0 - 1 cdot fy), (1 cdot 1 - 0 cdot 0) ) = (-fx, -fy, 1)
Para calcular o produto vetorial, usamos a regra do determinante:

Resposta

Portanto, o vetor normal é .

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