Prove os itens abaixo. (a) Se é o gráfico de e parametrizada por , com , mostre que o vetor normal .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, se temos um gráfico definido por e ele é parametrizado por , então o vetor normal é igual a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com superfícies parametrizadas e vetores normais. Vamos precisar usar derivadas parciais e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Isso significa calcular e .

Passo 3

Calculando :
E calculando :
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
Para calcular o produto vetorial, usamos a regra do determinante:

Resposta

Portanto, o vetor normal é .

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O período de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é , é dado em termos da variável como
sendo o comprimento do pêndulo e a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é
Derive as funções abaixo.
, para
Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. (b)
Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (a) Dê uma parametrização para .