Prove os itens abaixo. (a) Se
é o gráfico de
e parametrizada por
, com
, mostre que o vetor normal
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, se temos um gráfico definido por
e ele é parametrizado por
, então o vetor normal
é igual a
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com superfícies parametrizadas e vetores normais. Vamos precisar usar derivadas parciais e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da parametrização
em relação a
e
. Isso significa calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
E calculando
:
Aqui,
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal
fazendo o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
Para calcular o produto vetorial, usamos a regra do determinante:
Resposta
Portanto, o vetor normal é
.