Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a) e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar e colorir a região que fica entre as curvas dadas e calcular a área dessa região usando integrais. Isso envolve cálculo integral, especificamente encontrar a área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar as curvas no gráfico e como montar a integral que representa a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região:
  1. – Essa é uma parábola que abre para cima.
  2. – Essa é o eixo x.
  3. – O eixo y.
  4. – Uma linha vertical onde x é igual a 2.
Vamos esboçar essas curvas no gráfico para visualizar a região que queremos calcular.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de interseção para ter certeza dos limites de integração. Observando as curvas e :
Aqui, não há solução real para , o que significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a região limitada é entre e , sob a curva e acima do eixo x.

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, e . Os limites de integração são e .

Passo 5

Substituindo na fórmula da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 10 unidades quadradas.

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Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) e ;
Seja a transformação dada por: b) Determine , onde .
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e ;
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d) e ;