Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a)
e
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar e colorir a região que fica entre as curvas dadas e calcular a área dessa região usando integrais. Isso envolve cálculo integral, especificamente encontrar a área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar as curvas no gráfico e como montar a integral que representa a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região:
-
– Essa é uma parábola que abre para cima. -
– Essa é o eixo x. -
– O eixo y. -
– Uma linha vertical onde x é igual a 2.
Vamos esboçar essas curvas no gráfico para visualizar a região que queremos calcular.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de interseção para ter certeza dos limites de integração. Observando as curvas
e
:
Aqui, não há solução real para
, o que significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a região limitada é entre
e
, sob a curva
e acima do eixo x.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
. Os limites de integração são
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é 10 unidades quadradas.
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Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) e
;
b)
Seja
a transformação dada por:
b) Determine
, onde
.
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e
;
c)
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d) e
;
d)