Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d)
e
;
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: precisamos desenhar e colorir a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo x),
(eixo y) e
. Depois, vamos calcular a área dessa região usando integrais.
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos onde essas curvas se encontram e usar a integral definida para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região:
- Parábola:
- Eixo x:
- Eixo y:
- Linha vertical:
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde a parábola
corta o eixo x (
). Isso nos ajudará a determinar os limites de integração.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos de interseção:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), a parábola não corta o eixo x. Isso significa que a parábola está sempre acima do eixo x.
Passo 5
Como a parábola não intercepta o eixo x, a região que estamos considerando está entre
e
, debaixo da parábola e acima do eixo x.
Passo 6
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a função da parábola de
até
. A fórmula da área
será:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas é 10,5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e
;
c)
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a) e
;
a)
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
e) e
.
e)
Calcule as integrais indefinidas:
d) ;
d)