Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d) e ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: precisamos desenhar e colorir a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo x), (eixo y) e . Depois, vamos calcular a área dessa região usando integrais.
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos onde essas curvas se encontram e usar a integral definida para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região:
  1. Parábola:
  2. Eixo x:
  3. Eixo y:
  4. Linha vertical:

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde a parábola corta o eixo x ( ). Isso nos ajudará a determinar os limites de integração.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos de interseção:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), a parábola não corta o eixo x. Isso significa que a parábola está sempre acima do eixo x.

Passo 5

Como a parábola não intercepta o eixo x, a região que estamos considerando está entre e , debaixo da parábola e acima do eixo x.

Passo 6

Para calcular a área dessa região, vamos integrar a função da parábola de até . A fórmula da área será:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas é 10,5 unidades de área.

Exercícios relacionados

Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e ;
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a) e ;
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
e) e .
Calcule as integrais indefinidas:
d) ;