Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
e) e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para esboçarmos e pintarmos a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo x), e . Depois, a gente precisa calcular a área dessa região usando integrais. Basicamente, vamos mexer com funções quadráticas e entender como encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que estamos lidando. A função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo). O eixo é simplesmente o eixo x. As retas verticais e definem os limites laterais da nossa região.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde a parábola cruza o eixo x, ou seja, resolver . Isso vai nos ajudar a entender melhor o gráfico.
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), a parábola não corta o eixo x. Isso significa que toda a parábola está acima ou abaixo do eixo x.

Passo 4

Vamos avaliar o valor de na parábola para e para saber onde está a região que queremos.
Para :
Para :
Então, a parábola passa pelos pontos e , e está sempre abaixo do eixo x.

Passo 5

Como a parábola está abaixo do eixo x entre e , a região entre as curvas é entre a parábola e o eixo x. Para encontrar a área dessa região, usamos a integral definida da função da parábola de a .

Passo 6

A fórmula para a área é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral inteira fica:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 9

Vamos somar os termos:
Então:
Mas como estamos calculando área, o resultado deve ser positivo:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d) e ;
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e ;
Calcule as integrais indefinidas:
d) ;
Calcule as integrais indefinidas:
f) ;