Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
e)
e
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para esboçarmos e pintarmos a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo x),
e
. Depois, a gente precisa calcular a área dessa região usando integrais. Basicamente, vamos mexer com funções quadráticas e entender como encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que estamos lidando. A função
é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). O eixo
é simplesmente o eixo x. As retas verticais
e
definem os limites laterais da nossa região.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde a parábola cruza o eixo x, ou seja, resolver
. Isso vai nos ajudar a entender melhor o gráfico.
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), a parábola não corta o eixo x. Isso significa que toda a parábola está acima ou abaixo do eixo x.
Passo 4
Vamos avaliar o valor de
na parábola para
e
para saber onde está a região que queremos.
Para
:
Para
:
Então, a parábola passa pelos pontos
e
, e está sempre abaixo do eixo x.
Passo 5
Como a parábola está abaixo do eixo x entre
e
, a região entre as curvas é entre a parábola e o eixo x. Para encontrar a área dessa região, usamos a integral definida da função da parábola de
a
.
Passo 6
A fórmula para a área
é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral inteira fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 9
Vamos somar os termos:
Então:
Mas como estamos calculando área, o resultado deve ser positivo:
Resposta
A área da região é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
d) e
;
d)
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
c) e
;
c)
Calcule as integrais indefinidas:
d) ;
d)
Calcule as integrais indefinidas:
f) ;
f)