lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, dá uma olhada no numerador e no denominador. O numerador é , e o denominador é . Vamos tentar fatorar essas expressões para ver se conseguimos simplificar a fração.

Passo 3

Lembra que x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) pode ser fatorado como , que é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é . Vamos aplicar isso no numerador:

Passo 4

Agora, olha o denominador: x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) . Vemos que ele já está na forma de diferença de quadrados, então podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos substituir as fatorações que fizemos na expressão original:
x^4 - y^4x^2 - y^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2

Passo 6

Aqui, a gente pode simplificar a fração, já que (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2 = x^2 + y^2 está tanto no numerador quanto no denominador. Desde que , podemos cancelar esses termos:

Passo 7

Agora que a expressão ficou mais simples, podemos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) (x^2 + y^2) = 0 + 0 = 0 quando se aproxima de . Sabemos que tanto quanto tendem a 0 quando e tendem a 0.

Resposta

O limite é igual a .

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